%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\Large ISG 1988 épreuve commune Math II\vspace{2cm}}
\end{center}
\textbf{AVERTISSEMENT}
On rappelle aux candidats les termes du programme concernant la réduction
des endomorphismes et des matrices carrées en algèbre linéaire, en vigueur
pour l'année 1987-88 :
\begin{quotation}
La recherche des valeurs propres et des vecteurs propres s'effectue, par ré%
solution sur chaque exemple, des équations $u(x)=\alpha x$ ou $A(X)=\alpha X;
$ la notion de polynôme caractéritique n'est pas au programme
\end{quotation}
On se propose dans les parties I et II, d'effectuer de telles recherches en
tirant le meilleur partie des singularités rencontrées. \newline
Enfin, dans la partie III, après avoir étendu les notions de valeur propre
et de vecteur propre à un endomorphisme d'espace vectoriel de fonctions, on
guide les recherches de tels éléments dans l'exemple donné
\section*{NOTATIONS}
Pour $n$ entier naturel $(n=3$ ou $n=4$ dans le problème), on désigne par $%
B_{n}$ la base canonique de $\mathbb{R}^{n}.B_{n}=(e_{1},e_{2},...,e_{n}).$%
\newline
$\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R)}$ est l'algèbre des matrices carrées à éléments
dans $\mathbb{R}.$\newline
A un endomorphime $u$ de $\mathbb{R}^{n},$ on associe sa matrice $A$ dans $%
B_{n}.$\newline
On dit que $u$ (et donc $A)$ est diagonalisable s'il existe une base de
vecteurs propres de $u.$\newline
Enfin pour unifier les notations :
\begin{itemize}
\item dans le cas $n=3,$ on écrira $(x,y,z)$ les composantes d'un vecteur
propre dans $\mathbb{R}^{n}$
\item dans le cas $n=4,$ on écrira $(x,y,z,t)$ les composantes d'un vecteur
propre dans $\mathbb{R}^{n}.$
\end{itemize}
\section*{PARTIE I : CALCUL PAR RESOLUTION DE SYSTEME}
\begin{center}
\textbf{- - - - - - A - - - - -}
\end{center}
Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{4}$ dont la matrice dans la base $%
B_{4}$ s'écrit
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Ecrire le système qui permet de déterminer les vecteurs propres de $u$
associés à une valeur propre $\alpha .$
\item Résoudre ce système et montrer qu'il existe $4$ valeurs propres
distinctes pour chacune d'elles, on caractérisera les vecteurs propres par
leurs composantes dans $B_{4}.$
\item $u$ est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{- - - - - - B - - - - -}
\end{center}
On considère l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la
base $B_{3}$ est
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & k \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Ecrire le système qui permet de calculer les vecteurs propres de $u,$
associés à une valeur propre $\alpha .$\newline
Résoudre ce système (en discutant selon les valeurs de $k)$ dans le cas $%
\alpha =2.$
\item Discuter selon les valeurs de $k,$ l'existence de valeurs propres ré%
elles, distinctes de $2,$ et, le cas échéant, déterminer soigneusement les
vecteurs propres correspondants.
\item Présenter les résultats obtenus en discutant selon les valeurs de $k.$
On séparera les cas $k>0,$ $k=0,$ $k<0.$
\item Pour quelles valeurs de $k,$ $u$ est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}
\section*{PARTIE II : UTILISATION DU RANG ET DU NOYAU DE $u$}
\begin{center}
\textbf{- - - - - - A - - - - -}
\end{center}
Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{4}$ dont la matrice $A$ dans la bas
$B_{4}$ est
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 12 \\
3 & 4 & 12 & 0%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Quel est le rang de $A$ ?\newline
En déduire la dimension du noyau de $u$ ($\ker u)$. Donner, sans calculs, à
l'aide des vecteurs de $B_{4},$ une base de ce noyau. Interprétez ce ré%
sultat en termes de valeurs propres et de vecteurs propres.
\item Ecrire le système donnant les composantes des vecteurs propres associé%
s à une valeur propre non nulle $\alpha $ de $u.$ Le résoudre et montrer en
particulier qu'il existes deux valeurs propres non nulles, pour lesquelles,
on donnera les composantes de vecteurs propres correspondants.
\item $u$ est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{- - - - - - B - - - - -}
\end{center}
Soient $a,b,c$ trois réels tels que $:a^{2}+b^{2}+c^{2}=k$ avec $k\neq 0.$%
\newline
$u$ est l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ dont la matrice dans la base $%
B_{3}$ est
\begin{equation*}
A=%
\begin{pmatrix}
a^{2} & ba & ca \\
ab & b^{2} & cb \\
ac & bc & c^{2}%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Quel est le rang de $A$ ?
\item Déterminer le noyau et l'image de $u.$ Donner une base du noyau et de
l'image.
\item Montrer qu'il existe une valeur propre non nulle. Quels sont les
vecteurs propres correspondants ?
\item $u$ est-il diagonalisable ?
\end{enumerate}
\section*{PARTIE III : ETUDE D'UN ENDOMORPHISME DE FONCTIONS}
On désigne par $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $%
I=[0,+\infty \lbrack $ et par $u$ l'application qui à toute fonction $f$ de $%
E$ associe la fonction $u(f)=g$ définie sur $I$ par :%
\begin{equation*}
g(x)=\dfrac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}f(t)dt\text{ pour }x\neq 0\text{ et }%
g(0)=f(0).
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrre que $g$ est continue sur $]0,+\infty \lbrack $ et que $%
\lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x)=g(0)$\newline
En déduire que $u$ est un endomorphisme de $E.$
\item Montrer que $g$ est dérivable sur $]0,+\infty \lbrack .$
\item S'il existe $\alpha $ réel et $f\in E,$ non nulle, tels que $%
u(f)=\alpha f,$ on dira que $f$ est un vecteur propre de $u$ associé à la
valeur propre $\alpha .$\newline
Montrer que $0$ n'est pas valeur propre de $u.$
\item Soit $\alpha $ une valeur propre non nulle de $u$ et $f\in E$ un
vecteur propre associé.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est nécessairement dérivable sur $]0,+\infty \lbrack $
et trouver une relation entre $k^{\prime }$ et $k,$ $k$ désignant la
restriction de $f$ à $]0,+\infty \lbrack $ et $k^{\prime }$ la fonction dériv%
ée de $k$ sur $]0,+\infty \lbrack .$
\item En posant $h(x)=x^{1-1/\alpha }k(x),$ montrer que $h$ est né%
cessairement constante sur $]0,+\infty \lbrack .$
\item A quelle condition nécessaire sur $\alpha ,$ $k$ est-elle
effectivement la restriction d'une fonction $f,$ continue sur $I.$
\item Conclure en donnant les valeurs propres de $u$ et pour chacune d'elles
les vecteurs propres associés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}