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\begin{document}
\title{Construction des nombres réels}
\author{Abdellah Bechata \\
%EndAName
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\date{}
\maketitle
\tableofcontents
\begin{abstract}
Tant pour le profane que pour le mathématicien professionnel, les nombres
sont un élément central dans les mathématiques. Parmi les différents types
de nombres (entiers, rationnels, réels, complexes, $p$-adiques, etc.), les
nombres réels possèdent une place particulière dans le monde mathématique.
Tant l'intuition de leur existence est ancienne (depuis Pythagore et sa
preuve de l'irrationnalité de $\sqrt{2}),$ tant est tardive leur
construction rigoureuse (datant du $19^{\grave{e}me}$ siècle par Cantor et
Dedekind). L'enseignement utilise très tôt les nombres réels (à partir de la
quatrième pour le théorème de Pythagore) ce qui fait que tout étudiant à
l'impression que les nombres réels ainsi que leurs propriétés fondamentales
sont tout à fait naturelles et évidentes. En outre, dès le début de
l'enseignement supérieur, il utilisera régulièrement le fait que toute suite
de Cauchy de $\mathbb{R}$ est convergente dans $\mathbb{R},$ ce qui est le
point fondamental de toute l'analyse. Malheureusement à l'heure actuelle, un
étudiant peut très bien terminer ses études scientifiques dans le cycle supé%
rieur sans jamais avoir vu une construction complète des nombres réels. On
peut même affirmer qu'il s'agit du cas de l'immense majorité des étudiants
en mathématiques (ce qui fut le cas de l'auteur) ! Même si l'étudiant se
plonge dans la littérature mathématique, il lui sera régulièrement proposé
la construction du complété d'un espace métrique dont la preuve présuppose
la complétude de $\mathbb{R}$. Au mieux, il est mentionné que la
construction des réels est analogue en complétant le corps $\mathbb{Q}$ mais
la complétude de $\mathbb{R}$ n'est jamais exposé complètement et
rigoureusement.
L'objectif de cet article est de donner une construction complète, détaillée
et rigouse des nombres réels ainsi que leurs propriétés fondamentales. La
constuction sera basée sur la belle idée de Cantor qui joue un rôle majeur
dans l'analyse pour la construction de nombreux espaces complets. Pour que
la preuve soit la plus complète possible, il serait nécessaire de construire
les entiers relatifs puis les rationnels. Cette construction étant donnée
dans de nombreux livres, je ne l'exposerais pas ici.
\end{abstract}
\section{Non complétude de $\mathbb{Q}$}
Nous allons exposé dans cette section la construction des réels selon la mé%
thode élaborée par Cantor (par l'utilisation des suites de Cauchy). Il en
existe deux autres :
\begin{itemize}
\item celle de Dedekind à l'aide des coupures. Une coupure étant une
partition $(A,B)$ de $\mathbb{Q}$ vérifiant
\begin{equation*}
\forall x\in A,\quad \forall y\in B,\quad x0$ alors pour tout $b>0,$ il existe un entier $n$ tel que $na>b)$ et sur
le théorème des segments emboités (dont le théorème sur les suites
adjacentes n'est qu'une reformulation)
\end{itemize}
Nous supposons acquis la structure de corps ordonné sur $\mathbb{Q}$ ainsi
que la notion de valeur absolue d'un rationnel.
\begin{definition}
Une suite $u$ de rationnels est dite de Cauchy ssi
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\quad \exists N(\varepsilon )\text{ tel que }\forall
n\geqslant N(\varepsilon ),\quad \forall p\geqslant 0,\quad \left\vert
u_{n+p}-u_{n}\right\vert <\varepsilon .
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{lemma}
Il existe des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$ qui ne sont pas convergentes.
\end{lemma}
\begin{proof}
Considérons la suite $u_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{n}}{n!}$ et dé%
montrons qu'elle est de Cauchy.%
\begin{eqnarray*}
\left\vert u_{n+m}-u_{n}\right\vert &=&\left\vert \sum\limits_{k=n+1}^{n+m}%
\dfrac{(-1)^{k}}{k!}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{(n+1)!}+\dfrac{1}{(n+2)!}%
+...+\dfrac{1}{(n+m)!}\quad \forall n\geqslant 1,\forall p\geqslant 0 \\
&=&\dfrac{1}{(n+1)!}(1+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)..(n+m)}) \\
&\leqslant &\dfrac{1}{(n+1)!}(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+...+\dfrac{1}{%
2^{m}})\leqslant \dfrac{2}{(n+1)!}\underset{n\rightarrow +\infty }{%
\rightarrow }0
\end{eqnarray*}%
Nous venons de démontrer que la différence $u_{n+m}-u_{n}$ est majorée en
valeur absolue (usuelle) par une suite ne dépendant que de $n$ et qui tend
vers $0$ donc la suite $u$ est bien de Cauchy.\newline
Supposons qu'elle converge vers un rationnel $\dfrac{a}{b}$ avec $(a,b)=1.$
\newline
Il est judicieux de remarquer que
\begin{equation*}
u_{2n+2}-u_{2n}=\dfrac{1}{(2n+2)!}-\dfrac{1}{(2n+1)!}<0
\end{equation*}%
c'est-à-dire que la suite $(u_{2n})_{n\geqslant 0}$ est strictement dé%
croissante donc $\forall n\geqslant 0,\quad \dfrac{a}{b}\leqslant u_{2n},$
que
\begin{equation*}
u_{2n+3}-u_{2n+1}=\dfrac{-1}{(2n+3)!}+\dfrac{1}{(2n+2)!}>0
\end{equation*}%
c'est-à-dire la suite $(u_{2n+1})$ est strictement croissante et puisque $%
u_{1}=1-1=0$, on en déduit l'inégalité
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 0,\quad 0\leqslant u_{2n+1}\leqslant \dfrac{a}{b}.
\end{equation*}%
Des inégalités précédentes, on déduit l'encadrement suivant :
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 0,\quad 0\leqslant u_{2n+1}\leqslant \dfrac{a}{b}%
\leqslant u_{2n},
\end{equation*}%
qui démontre en particulier que $\dfrac{a}{b}$ est positif donc on peut
supposer dans la suite $a\geqslant 0$ et $b>0$. \newline
On multiplie l'inégalité précédente par $(2n)!$ et par $b,$ ce qui nous
donne
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 0,\quad b\sum\limits_{k=0}^{2n+1}(-1)^{k}\dfrac{(2n)!}{k!}%
\leqslant a(2n)!\leqslant b\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\dfrac{(2n)!}{k!}%
\quad \Leftrightarrow \quad -\dfrac{b}{(2n+1)}\leqslant
a(2n)!-b\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\dfrac{(2n)!}{k!}\leqslant 0.
\end{equation*}%
En particulier pour $2n+1>b\Leftrightarrow n>\dfrac{b-1}{2},$ on en déduit
l'inégalité
\begin{equation*}
\forall n>\dfrac{b-1}{2},\quad -1\dfrac{b-1}{2},\quad a(2n)!-b\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\dfrac{%
(2n)!}{k!}=0\quad \Leftrightarrow \quad u_{2n}=\dfrac{a}{b}
\end{equation*}%
Ainsi la suite $(u_{2n})_{n}$ est stationnaire ce qui est absurde car elle
est strictement croissante.\newline
Conclusion : la suite $u$ est de Cauchy mais elle ne converge pas dans $%
\mathbb{Q}$ donc $(\mathbb{Q},\left\vert {}\right\vert $ ) n'est pas un
espace métrique complet.\medskip
\end{proof}
Le corps $\mathbb{Q}$ n'est donc pas complet pour la valeur absolue usuelle,
ce qui est génant du point de vue de l'analyse. En effet, pour construire de
nouveau objets mathématiques (nombres, fonctions, etc) il est utile
d'utiliser la notion de limite de suite. Or la définition usuelle d'une
limite présuppose que l'on connaisse la limite éventuelle ce qui s'avère
dans la plupart des cas impossible. L'idée génial de Louis-Augustin Cauchy
fut d'introduire la notion de suite de Cauchy afin de s'affranchir de
l'utilisation d'une limite "explicite". En utilisant l'intuition que l'on
avait à l'époque des réels (corps ordonné, théorème des segments emboités),
il démontra que le corps des réels est complet c'est-à-dire qu'une suite ré%
elle converge ssi elle est de Cauchy. Nous savons depuis longtemps (au moins
intuitivement avec l'utilisation des décimaux et des calculatrices dans nos
activités numériques depuis l'enfance) que les rationnels forment une partie
dense de $\mathbb{R}$ c'est-à-dire tout réel est la limite (au sens de la
valeur absolue archimédienne) d'une suite de rationnels, que la distance sur
les rationnels est induite par la distance sur les réels. Il est dès lors é%
vident que deux suites convergentes (ou de Cauchy, ce qui semble être la mê%
me chose pour les réels), vont "représenter" le même réel ssi elles possè%
dent la même limite, c'est-à-dire que leur différence tend vers $0.$ De
cette analyse, Cantor en déduit une méthode rigoureuse de la construction
des nombres réels en ne présuposant que l'existence des rationnels. Ces
derniers se déduisent rigoureusement des entiers naturels, pour lequel nous
devons poser le postulat de leur existence ainsi que de l'existence d'une
addition et du principe de récurrence.
\section{Définition du corps des réels}
Considérons $\mathfrak{A}$ l'anneau des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$ et $%
\mathfrak{J}$ l'ensemble des suites de $\mathbb{Q}$ qui convergent vers $0.$
Il est immédiat que $\mathfrak{J}\subset \mathfrak{A}$ (toute suite
convergente est de Cauchy) et que la somme de deux suites convergeant vers $%
0 $ converge vers $0.$ Si $u$ est une suite de Cauchy de $\mathbb{Q}$ (donc
elle est bornée) et si $v$ est une suite qui converge vers $0$ alors la
suite $uv$ converge vers $0$ ce qui démontre que $\mathfrak{J}$ est un idéal
de $\mathfrak{A}.$ \newline
Nous souhaitons que deux suites de Cauchy $u$ et $v$ vont représenter le mê%
me nombre ssi $u-v\in \mathfrak{J}$ ce qui nous amène à considérer l'anneau
quotient $\mathfrak{A}/\mathfrak{J}$ (qui est le candidat potentiel pour repr%
ésenter les réels).
\begin{lemma}
L'anneau quotient $\mathfrak{A}/\mathfrak{J}$ est un corps.
\end{lemma}
\begin{proof}
Il s'agit de montrer que si $(x_{n})_{n\geqslant 0}\neq 0\func{mod}\mathfrak{%
J}$ (i.e. la suite $(x_{n})_{n\geqslant 0}$ ne converge pas vers $0)$ alors
il existe une classe $(y_{n})_{n\geqslant 0}\func{mod}\mathfrak{J}\in
\mathfrak{A/J}$ tel que $(x_{n}y_{n})_{n}=(1)_{n}\func{mod}\mathfrak{J}$
(c'est-à-dire la suite $(x_{n}y_{n}-1)$ converge vers $0).$ Considérons une
suite de Cauchy $(x_{n})_{n}$ de $\mathbb{Q}$ ne converge pas vers $0.$
\newline
En prenant la contraposée de la convergence vers $0,$ on obtient qu'il
existe $\alpha >0,$ tel que pour tout entier $N\geqslant 0,$il existe un
entier $k(N)\geqslant N$ tel que $\left\vert x_{k(N)}\right\vert \geqslant
\alpha $. \newline
D'autre part, la suite $x$ est de Cauchy et en écrivant la condition de
Cauchy pour $\varepsilon =\dfrac{\alpha }{2},$ on obtient l'existence d'un
entier $n_{0}$ tel que $\forall n\geqslant n_{0},\quad \forall m\geqslant
n_{0},\quad \left\vert x_{n}-x_{m}\right\vert \leqslant \dfrac{\alpha }{2}.$%
\newline
Si l'on choisit $N=n_{0}$ alors nous disposons d'un entier $%
k_{0}=k(n_{0})\geqslant n_{0}$ qui satisfait aux inéquations suivantes
\begin{equation*}
\left\vert x_{k_{0}}\right\vert \geqslant \alpha \text{ et }\forall
m\geqslant n_{0},\quad \left\vert x_{k_{0}}-x_{m}\right\vert \leqslant
\dfrac{\alpha }{2}.
\end{equation*}%
On en déduit que
\begin{equation*}
\forall m\geqslant n_{0},\quad \alpha \leqslant \left\vert
x_{k_{0}}\right\vert \leqslant \left\vert x_{k_{0}}-x_{m}\right\vert
+\left\vert x_{m}\right\vert \leqslant \dfrac{\alpha }{2}+\left\vert
x_{m}\right\vert
\end{equation*}%
c'est-à-dire
\begin{equation*}
\forall m\geqslant n_{0},\quad \dfrac{\alpha }{2}\leqslant \left\vert
x_{m}\right\vert .
\end{equation*}%
(" à partir d'un certain rang, tous les termes d'une suite de Cauchy sont trè%
s proches et si l'un deux est suffisamment éloigné de $0,$ alors tous les
termes sont également suffisamment éloignés de $0$ ")\newline
En remarquant que
\begin{equation*}
\forall n\geqslant n_{0},\quad \forall m\geqslant n_{0},\quad \left\vert
\dfrac{1}{x_{n}}-\dfrac{1}{x_{m}}\right\vert =\dfrac{\left\vert
x_{n}-x_{m}\right\vert }{\left\vert x_{n}\right\vert \left\vert
x_{m}\right\vert }\leqslant \dfrac{4}{\alpha ^{2}}\left\vert
x_{n}-x_{m}\right\vert ,
\end{equation*}%
on en déduit que la suite $(\dfrac{1}{x_{n}})_{n\geqslant n_{0}}$ est de
Cauchy donc la suite $(y_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par $y_{n}=0$ si $%
n0$ ou $b-a=0.$
Nous allons commencer par définir la relation d'ordre (partielle) $<.$
\begin{definition}[Signe d'un nombre réel]
\label{signe d un reel}Soit $x=(x_{n})\func{mod}\mathfrak{J}$ un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item On dit que $x$ est strictement positif $(x>0)$ ssi il existe un
rationnel $a>0$ tel qu'à partir d'un certain rang $n_{0},$ on ait $%
x_{n}\geqslant a.$
\item On dit que $x$ est strictement négatif $(x<0)$ ssi il existe un
rationnel $a<0$ tel qu'à partir d'un certain rang $n_{0},$ on ait $%
x_{n}\leqslant a.$\newline
De façon équivalente, $x<0$ ssi $-x>0.$
\end{enumerate}
\end{definition}
La définition précédente possède l'inconvénient majeure de définir la
relation $x>0$ par le choix du représentant $(x_{n})_{n}$ du réel $x$ ("de
la suite de rationnels convergeant vers $x$ "), qui est, rappelons le, une
classe d'équivalence. Si l'on choisit un autre représentant $(y_{n})_{n}$ de
$x$, c'est-à-dire une autre suite $(y_{n})_{n}$ telle que $%
(x_{n}-y_{n})\rightarrow 0,$ est-on assuré que la suite $(y_{n})_{n}$ est
minorée par un rationnel strictement positif ? Le lemme suivant répond à
cette question.
\begin{lemma}
Soient $(x_{n})_{n}$ et $(y_{n})_{n}$ sont deux suites de Cauchy de $\mathbb{%
Q}$ telles que $(x_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}=(y_{n})_{n}\func{mod}%
\mathfrak{J}.$ \newline
Alors $(x>0)\Leftrightarrow (y>0)$ et $(x<0)\Leftrightarrow (y<0).$ \newline
En particulier, pour tout réel $x$ la définition \ref{signe d un reel} est
indépendante du choix représentant $(x_{n})_{n}$ de $x.$
\end{lemma}
\begin{proof}
Soit $x=(x_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}$ un réel strictement positif et $%
(y_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}$ un autre représentant de $x$ i.e. $%
x=(y_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J.}$\newline
Il existe un entier $n_{0}$ et un rationnel $a$ tels que $\forall n\geqslant
n_{0},\quad x_{n}\geqslant a.$ La suite $(x_{n}-y_{n})_{n}$ converge vers $0$
donc en écrivant la définition avec les $\varepsilon $ et en fixant $%
\varepsilon =\dfrac{a}{2}>0,$ on obtient l'existence d'un entier $n_{1}$ tel
que
\begin{equation*}
\forall n\geqslant n_{1},\quad x_{n}-y_{n}\leqslant \dfrac{a}{2}%
\Leftrightarrow y_{n}\geqslant x_{n}-\dfrac{a}{2}
\end{equation*}%
donc
\begin{equation*}
\forall n\geqslant \max (n_{0},n_{1}),\quad y_{n}\geqslant x_{n}-\dfrac{a}{2}%
\geqslant a-\dfrac{a}{2}=\dfrac{a}{2}
\end{equation*}%
ce qui signifie que $y>0.$ Pour la réciproque, il suffit d'échanger les rô%
les de $x$ et $y.$\newline
Pour la seconde équivalence, il suffit de remarquer $(x<0)\Leftrightarrow
(-x>0)\Leftrightarrow (-y>0)\Leftrightarrow (y<0).$
\end{proof}
Le lemme suivant montre que la relation d'ordre sur $\mathbb{Q}$ est
compatible à la relation d'ordre sur $\mathbb{R}$.
\begin{lemma}
L'injection $j$ de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ (définie par (\ref%
{injection de Q dans R})) est une application croissante d'ensembles ordonné%
s.
\end{lemma}
\begin{proof}
Si $x=y,$ il est immédiat que $j(x)=j(y)$ et si $y>x$ alors $\forall
n\geqslant 0,\quad (j(x-y))_{n}=a\in \mathbb{Q}_{+}^{\times }$ donc par dé%
finition de la relation d'ordre sur $\mathbb{R}$, $j(x)>j(y).$
\end{proof}
L'intuition que nous possédons des réels nous montre que si une suite
converge vers un réel $x$ alors toute suite extraite converge vers $x.$ Le
lemme suivant est la formalisation de ce fait.
\begin{lemma}
\label{les suites extraites representent le meme reel}Soit $\varphi $ une
application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ alors
pour toute suite de Cauchy $(x_{n})_{n}$ de rationnels, la suite $%
(x_{\varphi (n)})_{n}$ est de Cauchy et $(x_{n})_{n}=(x_{\varphi (n)})_{n}%
\func{mod}\mathfrak{J}$
\end{lemma}
\begin{proof}
La suite $(x_{n})_{n}$ est de Cauchy donc
\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\quad \exists n_{0}\in \mathbb{N}\text{ tel que }%
\forall n\geqslant n_{0},\forall m\geqslant n_{0},\quad \left\vert
x_{n}-x_{m}\right\vert \leqslant \varepsilon . \label{inegalite cauchy}
\end{equation}%
\newline
L'application $\varphi $ étant strictement croissante, on est assuré que $%
\forall n\geqslant 0,\quad \varphi (n)\geqslant n$, en particulier, si $%
n\geqslant n_{0}$ alors $\varphi (n)\geqslant n_{0}$. \newline
Nous pouvons donc substituer $n$ par $\varphi (n)$ et $m$ par $\varphi (m)$
dans (\ref{inegalite cauchy}), on obtient%
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\quad \exists n_{0}\in \mathbb{N}\text{ tel que }%
\forall n\geqslant n_{0},\forall m\geqslant n_{0},\quad \left\vert
x_{\varphi (n)}-x_{\varphi (m)}\right\vert \leqslant \varepsilon
\end{equation*}%
donc la suite $(x_{\varphi (n)})_{n}$ est une suite de Cauchy.\newline
Si l'on subsitue seulement $m$ par $\varphi (n)$ dans (\ref{inegalite cauchy}%
), on obtient%
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\quad \exists n_{0}\in \mathbb{N}\text{ tel que }%
\forall n\geqslant n_{0},\quad \left\vert x_{n}-x_{\varphi (n)}\right\vert
\leqslant \varepsilon
\end{equation*}%
ce qui signifie que la suite $(x_{n}-x_{\varphi (n)})_{n}$ converge vers $0$
donc $(x_{n})_{n}=(x_{\varphi (n)})_{n}\func{mod}\mathfrak{J.}$
\end{proof}
\begin{corollary}
\label{choix representant reel positif}Soient $x$ et $y$ deux réels
\begin{enumerate}
\item Si $x>y$ (resp. $xy,$ $xy$ alors il existe un
rationnel $a\in \mathbb{Q}_{+}^{\times }$ et deux suites de Cauchy de
rationnels $(\widetilde{x}_{n})_{n\geqslant 0},$ $(\widetilde{y}%
_{n})_{n\geqslant 0}$ telles que $x=(\widetilde{x}_{n})_{n\geqslant 0}\func{%
mod}\mathfrak{J}$, $y=(\widetilde{y}_{n})_{n\geqslant 0}\func{mod}\mathfrak{J%
}$ et $\forall n\geqslant 0,\quad \widetilde{x}_{n}\geqslant a+\widetilde{y}%
_{n}.$ Par définition, il existe deux suites de rationnels $%
(u_{n})_{n\geqslant 0}$ et $(v_{n})_{n\geqslant 0}$ convergentes vers $0$
telles que $\forall n\geqslant 0,\quad \widetilde{x}_{n}=x_{n}+u_{n}$ et $%
\widetilde{y}_{n}=y_{n}+v_{n}.$ On en déduit que
\begin{equation*}
\forall n\geqslant N,\quad x_{n}+u_{n}\geqslant a+y_{n}+v_{n}\Leftrightarrow
u_{n}-v_{n}\geqslant a+\underset{\geqslant 0}{\underbrace{y_{n}-x_{n}}}%
\geqslant a.
\end{equation*}%
En passant à la limite dans la dernière inégalité, on obtient $0\geqslant a$
ce qui est absurde.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition}
Soit $x$ un réel, alors $x<0$ ou $x=0$ ou $x>0.$\newline
En particulier, tout réel est soit négatif ou positif (au sens large) et le
seul réel positif et négatif est le réel nul.
\end{proposition}
\begin{proof}
Soit $x$ un réel ni strictement positif, ni strictement négatif.\newline
La contraposée de la définition $x>0$ montre que si $x\ngtr 0$ alors
\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{Q}_{+},\forall N\geqslant 0,\quad \exists n(a,N)\in
\mathbb{N}\text{ tel que }n(a,N)\geqslant N\text{ et }x_{n(a,N)}\varphi (0)$ tel que $%
x_{\varphi (1)}<\dfrac{1}{2}.$ On construit par récurrence, une suite
strictement croissante d'entiers $\varphi (n)$ tel que
\begin{equation}
\forall n\geqslant 0,\quad x_{\varphi (n)}<\dfrac{1}{2^{n}}
\label{majoration}
\end{equation}%
(on considère $a=\dfrac{1}{2^{n}}$ et $N=\varphi (n-1)+1).$ La suite $%
(x_{\varphi (n)})_{n}$ est une suite extraite de $(x_{n})_{n}.$\newline
Le lemme \ref{les suites extraites representent le meme reel} montre que $%
x=(y_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}$ où $y_{n}=x_{\varphi (n)}$ \newline
Puisque $x=y$ n'est pas strictement négatif, on construit sur le même procédé
une suite strictement croissante d'entiers $\psi (n)$ tel que
\begin{equation}
\forall n\geqslant 0,\quad y_{\psi (n)}>-\dfrac{1}{2^{n}}\Leftrightarrow
x_{(\varphi \circ \psi )(n)}>-\dfrac{1}{2^{n}}. \label{minoration}
\end{equation}%
La combinaison des inégalités (\ref{majoration}) et (\ref{minoration})
montre que
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 0,\quad -\dfrac{1}{2^{n}}0$ et un entier $N$ tels que $%
\forall n\geqslant N,\quad x_{n}\geqslant a$ donc $\forall n\geqslant
N,\quad -x_{n}\leqslant -a$ et le rationnel $-a$ est strictement négatif ce
qui signifie que $-x$ est strictement négatif.\newline
La réciproque se traite de façon similaire ainsi que la seconde équivalence.
\item Soient $x$ et $y$ deux réels positifs.
\begin{itemize}
\item Si $x=0$ (resp. $y=0)$ alors $x+y=y\geqslant 0$ (resp. $x+y=x\geqslant
0)$
\item Si $x=(x_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}>0$ et $y=(y_{n})_{n}\func{mod}%
\mathfrak{J}>0.$ Il existe deux rationnels $a$ et $b$ strictement positif
tels que $\forall n\geqslant 0,\quad x_{n}\geqslant a$ et $\forall
n\geqslant 0,\quad y_{n}\geqslant b$ donc $\forall n\geqslant 0,\quad
x_{n}+y_{n}\geqslant a+b$. En remarquant que $a+b$ est un rationnel
strictement positif, on en déduit que $x+y>0$ donc $x+y\geqslant 0.$
\end{itemize}
Si $x$ et $y$ sont négatifs alors $x+y=-(-x+(-y)).$ La partie 1 du lemme
montre que $-x$ et $-y$ sont positifs donc $-x+(-y)$ est positif et son oppos%
é est négatif.
Je laisse la preuve au lecteur des parties 3 et 4 car elle est de même
nature que la preuve du la seconde partie du lemme (pour la dernière, il
suffit de remarquer que $x=(x_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}$ alors $\dfrac{1%
}{x}=(\dfrac{1}{x_{n}})_{n\geqslant N}\func{mod}\mathfrak{J}$ pour $N$ assez
grand).
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition}
La relation $\leqslant $ définie par $x\leqslant y$ ssi $(y-x>0$ ou $y=x)$ dé%
finie une relation d'ordre totale de $\mathbb{R}.$
\end{proposition}
\begin{proof}
\quad
\begin{enumerate}
\item Deux réels $x$ et $y$ quelconques sont comparables.\newline
Soient $x=(x_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}$ et $y=(y_{n})_{n}\func{mod}%
\mathfrak{J}$ deux réels. \newline
Si $x=y$ alors il est immédiat que $x\leqslant y.$ \newline
Si $x\neq y$ ce qui signifie $x-y\neq 0$ alors
\begin{itemize}
\item soit $x-y<0\Leftrightarrow y-x>0$ donc $y>x\Rightarrow x\leqslant y$
\item soit $x-y>0$ donc $x>y\Rightarrow y\leqslant x$
\end{itemize}
\item Transitivité.\newline
Soient $x,y$ et $z$ trois réels tels que $x\leqslant y$ et $y\leqslant z.$
Les réels $y-x$ et $z-y$ sont donc positifs et, d'après le lemme \ref{regle
des signes}, leur somme $(y-x)+(z-y)=z-x$ est un réel positif ce qui dé%
montre que $z\geqslant x.$
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition}[règle de calcul sur les inégalités]
\label{regle calcul sur les inegalites}Soient $x,y,z,t$ quatre réels.
\begin{itemize}
\item Si $x\leqslant z$ alors $x+y\leqslant z+y$
\item Si $x\leqslant z$ et $y\leqslant t$ alors $x+y\leqslant z+t$
\item Si $x$ et $z$ sont non nuls et si $x\leqslant z$ alors $\dfrac{1}{z}%
\leqslant \dfrac{1}{x}.$
\item Si $x\leqslant z$ alors $xy\leqslant zy$ si $y\geqslant 0$ et $%
xy\geqslant zy$ si $y\leqslant 0.$
\end{itemize}
\end{proposition}
\begin{proof}
Cela résulte immédiatement du lemme \ref{regle des signes} et des égalités
suivantes :%
\begin{equation*}
(z+y)-(x+y)=z-x,\quad (z+t)-(x+y)=(z-x)+(t-y),\quad \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z}%
=\dfrac{z-x}{zx},\quad zy-xy=(z-x)y
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{theorem}
\label{un rationnel entre deux reels}Pour tous réels $x$ et $y$ tels que $%
x0$ tel que
\begin{equation}
\forall n\geqslant 0,\quad y_{n}\geqslant x_{n}+b.
\label{minoration de yn-xn}
\end{equation}
Les suites $(x_{n})_{n}$ et $(y_{n})_{n}$ sont de Cauchy donc
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\exists n_{1}\text{ tel que }\forall n\geqslant
n_{1},\forall m\geqslant n_{1},\quad \left\vert x_{n}-x_{m}\right\vert
\leqslant \varepsilon \Rightarrow \forall \varepsilon >0,\exists n_{1}\text{
tel que }\forall n\geqslant n_{1},\forall m\geqslant n_{1},\quad
x_{n}\leqslant x_{m}+\varepsilon
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\exists n_{2}\text{ tel que }\forall n\geqslant
n_{2},\forall m\geqslant n_{2},\quad \left\vert y_{n}-y_{m}\right\vert
\leqslant \varepsilon \Rightarrow \forall \varepsilon >0,\exists n_{2}\text{
tel que }\forall n\geqslant n_{2},\forall m\geqslant n_{2},\quad
y_{m}-\varepsilon \leqslant y_{n}
\end{equation*}%
donc
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\exists N=\max (n_{1},n_{2})\text{ tel que }\forall
n\geqslant N,\forall m\geqslant N,\quad x_{n}\leqslant x_{m}+\varepsilon
\text{ et }y_{m}-\varepsilon \leqslant y_{n}
\end{equation*}%
Pour $\varepsilon =\dfrac{b}{4}>0,$ on obtient
\begin{equation}
\forall n\geqslant N,\quad x_{n}\leqslant x_{N}+\dfrac{b}{4}\text{ et }y_{N}-%
\dfrac{b}{4}\leqslant y_{n} \label{encadrement xn et yn}
\end{equation}%
L'inégalité (\ref{minoration de yn-xn}) montre que la différence $(y_{N}-%
\dfrac{b}{4})-(x_{N}+\dfrac{b}{4})$ est strictement positive car
\begin{equation*}
(y_{N}-\dfrac{b}{4})-(x_{N}+\dfrac{b}{4})=y_{N}-x_{N}-\dfrac{b}{2}\geqslant
b-\dfrac{b}{2}=\dfrac{b}{2}>0.
\end{equation*}%
Le rationnel $a=\dfrac{x_{N}+y_{N}}{2}+\dfrac{b}{4}$ vérifie l'inégalité
\begin{equation*}
x_{N}+\dfrac{b}{4}0$ ce qui démontre l'existence d'un rationnel $a$ tel que
\begin{equation*}
xy.$
\end{corollary}
\begin{proof}
La proposition \ref{partie reel d un nombre reel} montre que $\dfrac{y}{x}0,$ le lemme \ref{regle calcul sur les
inegalites} montre que $y<\underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{(E(\dfrac{y}{%
x})+1)}}x$.
\end{proof}
\section{Complétude de $\mathbb{R}$}
Nous devons munir cet espace $\mathfrak{A}/\mathfrak{J}$ d'une métrique et
nous ne disposons que d'une métrique sur $\mathbb{Q}$ déduite de la valeur
absolue usuelle. Intuitivement, si $x$ est un réel, sa "valeur absolue" $%
\left\vert x\right\vert $ (qui n'existe pas encore) est un réel donc une
suite de Cauchy dans notre reformulation. Remarquons que l'inégalité
triangulaire
\begin{equation}
\left\vert \left\vert x_{n+m}\right\vert -\left\vert x_{n}\right\vert
\right\vert \leqslant \left\vert x_{n+m}-x_{n}\right\vert
\label{membre gauche inegalite triangulaire}
\end{equation}%
montre que si la suite $(x_{n})$ est de Cauchy de $\mathbb{Q}$ alors la
suite $(\left\vert x_{n}\right\vert )$ l'est aussi. D'autre part, si on se
rappelle que notre réel $x$ est limite de la suite de rationnels alors on a
envie de définir sa valeur absolue $\left\vert x\right\vert $ comme la suite
$(\left\vert x_{n}\right\vert )_{n}$ ("continuité de la valeur absolue").
\newline
On définit l'application $\left\vert {}\right\vert _{1}$ de $\mathfrak{A}/%
\mathfrak{J}$ dans $\mathfrak{A}/\mathfrak{J}$ par
\begin{equation*}
\left\vert {}\right\vert _{1}:\left\{
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{A}/\mathfrak{J} & \rightarrow & \mathfrak{A}/\mathfrak{J} \\
x\func{mod}\mathfrak{J}=\{x+u,\quad u\in \mathfrak{J}\} & \mapsto &
(\left\vert x_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}\mathfrak{J}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
(à une classe d'une suite de Cauchy $(x_{n})_{n}$, on associe la classe de
la suite de Cauchy $(\left\vert x_{n}\right\vert )_{n}.$ Soit $x\func{mod}%
\mathfrak{J}$ un élément de $\mathfrak{A}/\mathfrak{J}$ (où $x$ désigne une
suite de Cauchy de $\mathbb{Q}),$ on pose $\left\vert x\func{mod}\mathfrak{J}%
\right\vert _{1}=(\left\vert x_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}\mathfrak{J}.$
Cette application est pour l'instant mal définie (on a fait un choix du repré%
senter d'une classe d'équivalence et donc cette expression dépend peut-être
du représentant et non de la classe). Soit $y$ un autre représentant de $%
\widetilde{x},$ c'est-à-dire $\widetilde{x}=\widetilde{y}\Leftrightarrow
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(x_{n}-y_{n})=0$ et l'inégalité $%
\left\vert \left\vert x_{n}\right\vert -\left\vert y_{n}\right\vert
\right\vert \leqslant \left\vert x_{n}-y_{n}\right\vert $ montre que
\begin{equation*}
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(\left\vert x_{n}\right\vert
-\left\vert y_{n}\right\vert )=0\Rightarrow (\left\vert x_{n}\right\vert
)_{n}\func{mod}\mathfrak{J=}(\left\vert y_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}%
\mathfrak{J}\Rightarrow \left\vert \widetilde{x}\right\vert _{1}=\left\vert
\widetilde{y}\right\vert _{1}
\end{equation*}%
ce qui nous assure que l'application $\left\vert {}\right\vert _{1}$ est
bien définie.
Il est immédiat que si $x\in \mathbb{Q},$ on a $\left\vert j(x)\right\vert
_{1}=j(\left\vert x\right\vert ).$ Par abus de notation, on notera $%
\left\vert {}\right\vert $ au lieu de $\left\vert {}\right\vert _{1}.$
\begin{definition}[valeur absolue $\left\vert {}\right\vert $ sur $\mathbb{R}
$]
Soit $x=(x_{n})_{n}\func{mod}\mathfrak{J}$ un réel. On appelle valeur
absolue de $x$ le réel $\left\vert x\right\vert $ défini par
\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert =(\left\vert x_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}%
\mathfrak{J.}
\end{equation*}%
Par abus, de notation
\end{definition}
\begin{lemma}
La valeur absolue $\left\vert {}\right\vert $ sur $\mathbb{R}$ vérifie la
relation
\begin{itemize}
\item $\left\vert x\right\vert =\max (x,-x)$
\end{itemize}
\noindent ainsi que les relations suivantes valables $\forall x\in \mathbb{R}%
,\forall y\in \mathbb{R},$
\begin{itemize}
\item $\left\vert x\right\vert \geqslant 0$ et $\left\vert x\right\vert
=0\Leftrightarrow x=0.$
\item $\left\vert xy\right\vert =\left\vert x\right\vert \left\vert
y\right\vert $
\item $\left\vert x+y\right\vert \leqslant \left\vert x\right\vert
+\left\vert y\right\vert $
\item $\left\vert x+y\right\vert =\left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert $ ssi $x$ et $y$ sont de même signe
\item $-y\leqslant x\leqslant y\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert
\leqslant y$ si $y\geqslant 0.$ En particulier, $0\leqslant x\leqslant y$
alors $\left\vert x\right\vert \leqslant y.$
\end{itemize}
\end{lemma}
\begin{proof}
\quad
\begin{itemize}
\item Si $x=0,$ la relation est évidente. Si $x>0,$ on peut choisir un repré%
sentant $(x_{n})_{n\geqslant 0}$ tel $\forall n\geqslant 0,\quad x_{n}>0$
donc $\forall n\geqslant 0,\quad \left\vert x_{n}\right\vert =x_{n}$ c'est-à%
-dire $\left\vert x\right\vert =x.$ Par le même raisonnement, si $x<0,$ on
obtient $\left\vert x\right\vert =-x.$
\item Si $\left\vert x\right\vert =0$ alors $\max (x,-x)=0$ donc $x\leqslant
0$ et $-x\leqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 0$ donc $x=0$. La réciproque
est évidente.\newline
Supposons que $x\neq 0$ donc $x<0$ ou $x>0.$ La relation $\left\vert
-x\right\vert =(\left\vert -x_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}\mathfrak{J=}%
(\left\vert x_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}\mathfrak{J=}\left\vert
x\right\vert $montre que l'on peut supposer $x>0$ i.e. il existe un
rationnel $a>0$ et un entier $N$ tel que $\forall n\geqslant N,\quad
x_{n}\geqslant a$ donc $\forall n\geqslant N,\quad \left\vert
x_{n}\right\vert \geqslant a\Rightarrow \left\vert x\right\vert >0.$
\item $\left\vert xy\right\vert =(\left\vert x_{n}y_{n}\right\vert )_{n}%
\func{mod}\mathfrak{J=}(\left\vert x_{n}\right\vert \left\vert
y_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}\mathfrak{J}=[(\left\vert x_{n}\right\vert
)_{n}\func{mod}\mathfrak{J}][(\left\vert y_{n}\right\vert )_{n}\func{mod}%
\mathfrak{J}]\mathfrak{=}\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert .$
\item On sait que $x\leqslant \max (x,-x)$ et $y\leqslant \max (y,-y)$ donc $%
x+y+\max (y,-y)=\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert .$ De la mê%
me façon, on a $-x-y=(-x)+(-y)\leqslant \max (x,-x)+\max (y,-y)=\left\vert
x\right\vert +\left\vert y\right\vert $. Les deux inégalités précédentes
montrent que $\left\vert x+y\right\vert =\max (x+y,-x-y)\leqslant \left\vert
x\right\vert +\left\vert y\right\vert .$
\item La réciproque est laissée au lecteur. Pour l'implication directe,
supposons que les deux réels soient non nuls de signe oposé. Dans ce cas, on
peut supposer $x>0$ et $y<0$ ce qui nous donne $\left\vert x\right\vert
+\left\vert y\right\vert =x-y.$ D'autre part, $\left\vert x+y\right\vert $%
est égal à $x+y$ ou à $-x-y$ donc on a nécessairement $x--y=x+y$ ce qui
implique que $y=0$ ou $x-y=-x-y$ donc $x=0.$ Dans tous les cas, on abouti à
une contradiction donc $x$ et $y$ sont de même signe.
\item $-y\leqslant x\leqslant y\Leftrightarrow (x\leqslant y$ et $%
-x\leqslant y)\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert =\max (x,-x)\leqslant
y.$
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{definition}
Une suite $(x^{(n)})_{n\geqslant 0}$ de réels converge vers $0$ ssi $\forall
\varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad \exists N\in \mathbb{N}$ tel
que $\forall n\geqslant N,\quad \left\vert x^{(n)}\right\vert <\varepsilon .$%
\newline
On dit d'une suite $(x^{(n)})_{n\geqslant 0}$ de réels converge vers un réel
$x$ ssi la suite $(x^{(n)}-x)_{n\geqslant 0}$ converge vers $0.$
\end{definition}
Rappelons que l'on identifie tout rationnel $a$ à la classe, modulo $%
\mathfrak{J},$ de la suite constante égale à $a$ (qui est donc de Cauchy)
\begin{theorem}
Tout réel est la limite d'une suite de rationnels (" $\mathbb{Q}$ est dense
dans $\mathbb{R}$ ").
\end{theorem}
\begin{proof}
Soit $x$ un réel et $n$ un entier positif. Le réel $\dfrac{E(nx)}{n}$ est un
rationnel ("suite rationnelle constante") qui vérifie
\begin{equation*}
E(nx)-1\leqslant nx\varphi (0)$ tel
que
\begin{equation*}
\forall m\geqslant \varphi (1),\quad \forall p\geqslant \varphi (1),\quad
\left\vert x^{(m)}-x^{(p)}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{1}}.
\end{equation*}%
En particulier,
\begin{equation}
\forall m\geqslant \varphi (1),\quad \left\vert x^{(m)}-x^{(\varphi
(1))}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{1}}. \label{phi1}
\end{equation}%
Par définition, $\varphi (1)>\varphi (0)$ donc nous pouvons appliquer l'iné%
galité (\ref{phi0}) à $m=\varphi (1)$ ce qui nous donne
\begin{equation*}
\left\vert x^{(\varphi (1))}-x^{(\varphi (0))}\right\vert \leqslant \dfrac{1%
}{2^{0}}.
\end{equation*}%
On procède ensuite par récurrence de la façon suivante. Supposons avoir
construit des entiers
\begin{equation*}
\varphi (0)>\varphi (1)>...>\varphi (n-1)\text{ tels que }\forall k\in
\{0,..,n-2\},\quad \left\vert x^{(\varphi (k+1))}-x^{(\varphi
(k))}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{k}}
\end{equation*}%
\begin{equation}
\text{et }\forall m\geqslant \varphi (n-1),\quad \left\vert
x^{(m)}-x^{(\varphi (n-1))}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}}.
\label{phi(n-1)}
\end{equation}%
La suite $(x^{(m)}-x^{(\varphi (n-1))})_{m\geqslant \varphi (n-1)+1}$ est de
Cauchy et, en écrivant la condition de Cauchy pour $\varepsilon =\dfrac{1}{%
2^{n}},$ on obtient que l'existence d'un entier $\varphi (n)\geqslant
\varphi (n-1)+1>\varphi (n-1)$ tel que
\begin{equation*}
\forall m\geqslant \varphi (n),\quad \forall p\geqslant \varphi (n),\quad
\left\vert x^{(m)}-x^{(p)}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{n}}.
\end{equation*}%
En particulier, $\forall m\geqslant \varphi (n),\quad \left\vert
x^{(m))}-x^{(\varphi (n))}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{n}}$ et par dé%
finition, $\varphi (n)>\varphi (n-1)$ donc nous pouvons appliquer l'inégalité
(\ref{phi(n-1)}) à $m=\varphi (n)$ ce qui nous donne $\left\vert x^{(\varphi
(n))}-x^{(\varphi (n-1))}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{n}},$ ce qui achè%
ve la récurrence.
\end{proof}
\begin{lemma}
Toute suite de Cauchy de $\mathbb{R}$ possédant une valeur d'adhérence $L$
converge vers $L.$\newline
En particulier, une suite de Cauchy de $\mathbb{R}$ possède au plus une
valeur d'adhérence.
\end{lemma}
\begin{proof}
Si $L$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x^{(n)})_{n\geqslant 0}$
alors il existe une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $%
\mathbb{N}$ telle que $(x^{(\varphi (n))})_{n\geqslant 0}$ converge vers $L,$
c'est-à-dire
\begin{equation}
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad \exists N_{1}\text{
tel que }\forall n\geqslant N,\quad \left\vert x^{(\varphi
(n))}-L\right\vert \leqslant \varepsilon .
\label{convergence de la suite extraite}
\end{equation}%
\newline
D'autre la condition de Cauchy pour la suite $(x^{(n)})_{n\geqslant 0}$ s'é%
crit
\begin{equation*}
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad \exists N_{2}\text{
tel que }\forall n\geqslant N_{2},\quad \forall m\geqslant N_{2},\quad
\left\vert x^{(n)}-x^{(m)}\right\vert \leqslant \varepsilon .
\end{equation*}%
En remarquant que $\forall n\geqslant 0,\quad \varphi (n)\geqslant n,$ on en
déduit qu'en posant $m=\varphi (n)$ dans la condition de Cauchy, on obtient
que
\begin{equation}
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad \exists N_{2}\text{
tel que }\forall n\geqslant N_{2},\quad \left\vert x^{(n)}-x^{(\varphi
(n))}\right\vert \leqslant \varepsilon .
\label{critere de cauchy pour m=phi(n)}
\end{equation}%
La combinaison de (\ref{convergence de la suite extraite}) et (\ref{critere
de cauchy pour m=phi(n)}) nous fournit la condition suivante
\begin{equation*}
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{\times },\quad \exists N=\max
(N_{1},N_{2})\text{ tel que }\forall n\geqslant N_{2},\quad \left\vert
x^{(n)}-L\right\vert \leqslant \left\vert x^{(n)}-x^{(\varphi
(n))}\right\vert +\left\vert x^{(\varphi (n))}-L\right\vert \leqslant
2\varepsilon
\end{equation*}%
qui n'est rien d'autre que la convergence de la suite $(x^{(n)})_{n\geqslant
0}$ vers $L.$
\end{proof}
\begin{theorem}[Complétude de $\mathbb{R}$]
Toute suite de Cauchy de $\mathbb{R}$ converge dans $\mathbb{R}.$
\end{theorem}
\begin{proof}
Considérons une suite de Cauchy de $\mathbb{R}$ que l'on note $(x^{(n)}).$
Il suffit de démontrer qu'une certaine suite extraite est convergente dans $%
\mathbb{R}.$ Considérons une suite extraite $(y^{(n)})_{n\geqslant 0}$ telle
que $\forall n\geqslant 0,\quad \left\vert y^{(n+1)}-y^{(n)}\right\vert
\leqslant \dfrac{1}{2^{n}}$ (ceci est possible grâce au lemme \ref{CNS pour
etre de Cauchy}). On choisit un représentant quelconque pour $y^{(0)}$ c'est-%
à\_dire une suite de Cauchy de rationnels $(y_{k}^{(0)})_{k\geqslant 0}.$
Pour le choix du représentant de $y^{(n)},$ on procède par récurrence de la
façon suivante. Supposons avoir choisi un représentant $(y_{k}^{(n)})_{k%
\geqslant 0}$ du réel $y^{(n)}$ : on choisit ensuite un représentant $%
(z_{k})_{k\geqslant 0}$ de $\left\vert y^{(n+1)}-y^{(n)}\right\vert $ tel
que $\forall k\geqslant 0,\quad z_{k}\geqslant 0$ (cela est possible grâce
au corollaire \ref{choix representant reel positif}) puis on définit un repré%
sentant de $y^{(n+1)}$ soit par $(y_{k}^{(n+1)})_{k\geqslant
0}=(z_{k}^{(n)})_{k\geqslant 0}+(y_{k}^{(n)})_{k\geqslant 0}$ si $\left\vert
y^{(n+1)}-y^{(n)}\right\vert =y^{(n+1)}-y^{(n)}$ soit par $%
(y_{k}^{(n+1)})_{k\geqslant 0}=(y_{k}^{(n)})_{k\geqslant
0}-(z_{k}^{(n)})_{k\geqslant 0}$ si $\left\vert y^{(n+1)}-y^{(n)}\right\vert
=y^{(n)}-y^{(n+1)}.$ Ce choix des représentants nous permet alors d'avoir
\begin{equation*}
\forall n\geqslant 0,\quad \forall k\geqslant 0\quad \left\vert
y_{k}^{(n+1)}-y_{k}^{(n)}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{n}}.
\end{equation*}%
Nous allons construire maintenant un nombre réel qui va s'avérer la limite
de la suite de réels $(y^{(n)})_{n\geqslant 0}.$ \newline
La suite $(y_{k}^{(0)})_{k\geqslant 0}$ est de Cauchy donc il existe un
entier $\varphi (0)$ tel que
\begin{equation*}
\forall k\geqslant \varphi (0),\quad \forall q\geqslant \varphi (0),\quad
\left\vert y_{q}^{(0)}-y_{k}^{(0)}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{0}}.
\end{equation*}%
De même, la suite $(y_{k}^{(1)})_{k\geqslant \varphi (0)+1}$ est de Cauchy
donc il existe un entier $\varphi (1)\geqslant \varphi (0)+1>\varphi (0)$
tel que
\begin{equation*}
\forall k\geqslant \varphi (1),\quad \forall q\geqslant \varphi (1),\quad
\left\vert y_{q}^{(1)}-y_{k}^{(1)}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{1}}.
\end{equation*}%
On construit ainsi par récurrence une suite strictement croissante d'entiers$%
(\varphi (n))_{n\geqslant 0}$ telle que
\begin{equation}
\forall k\geqslant \varphi (n),\quad \forall q\geqslant \varphi (n),\quad
\left\vert y_{q}^{(n)}-y_{k}^{(n)}\right\vert \leqslant \dfrac{1}{2^{n}}.
\label{definition de phi(n)}
\end{equation}%
\newline
Montrons que la suite de rationnels $(y_{\varphi (n)}^{(n)})_{n\geqslant 0}$
est de Cauchy dans $\mathbb{Q}.$ Pour commencer, nous avons l'inégalité
suivante valable pour tous les entiers $n,p$ positifs :
\begin{equation}
\left\vert y^{(n)}-y^{(n+p)}\right\vert =\left\vert
\sum\limits_{s=n}^{n+p-1}(y^{(s)}-y^{(s+1)})\right\vert \leqslant
\sum\limits_{s=n}^{n+p-1}\left\vert y^{(s)}-y^{(s+1)}\right\vert \leqslant
\sum\limits_{k=n}^{n+p-1}\dfrac{1}{2^{k}}=\dfrac{1}{2^{n}}.\dfrac{1-(\dfrac{1%
}{2})^{n-p}}{1-(1/2)}\leqslant \dfrac{1}{2^{n-1}} \label{y(n) est de cauchy}
\end{equation}%
Quels que soient $n$ et $p$ positif, le réel $\left\vert
y^{(n)}-y^{(n+p)}\right\vert $ est strictement petit que $\dfrac{1}{2^{n}}.$
La définition de la relation d'ordre $<$ montre qu'il existe un rang $N(n,p)$
tel que
\begin{equation*}
\forall k\geqslant N(n,p),\quad \left\vert
y_{k}^{(n)}-y_{k}^{(n+p)}\right\vert <\dfrac{1}{2^{n-1}}.
\end{equation*}%
Considérons l'entier auxiliaire $K=\max (N(n,p),\varphi (n),\varphi (n+p))$
alors pour tous les entiers $n,p,$ les majorations (\ref{definition de
phi(n)}) et (\ref{y(n) est de cauchy}) montrent que l'on a
\begin{eqnarray*}
\left\vert y_{\varphi (n)}^{(n)}-y_{\varphi (n+p)}^{(n+p)}\right\vert
&=&\left\vert (y_{\varphi
(n)}^{(n)}-y_{k}^{(n)})+(y_{k}^{(n)}-y_{k}^{(n+p)})+(y_{k}^{(n+p)}-y_{%
\varphi (n+p)}^{(n+p)}\right\vert \\
&\leqslant &\left\vert y_{\varphi (n)}^{(n)}-y_{k}^{(n)}\right\vert
+\left\vert y_{k}^{(n)}-y_{k}^{(n+p)}\right\vert +\left\vert
y_{k}^{(n+p)}-y_{\varphi (n+p)}^{(n+p)}\right\vert \\
&\leqslant &\dfrac{1}{2^{n}}+\dfrac{1}{2^{n-1}}+\dfrac{1}{2^{n+p}}\leqslant
\dfrac{3}{2^{n-1}}.
\end{eqnarray*}%
Nous venons donc de majorer $\left\vert y_{\varphi (n)}^{(n)}-y_{\varphi
(n+p)}^{(n+p)}\right\vert $ par une suite indépendante de $p$ et tendant
vers $0$ quand $n\rightarrow +\infty $ ce qui démontre que la suite de
rationnels $(y_{\varphi (n)}^{(n)})_{n\geqslant 0}$ est de Cauchy dans $%
\mathbb{Q}$ donc nous définissons un réel $y$ en posant $y=(y_{\varphi
(n)}^{(n)})_{n\geqslant 0}\func{mod}\mathfrak{J}$.\newline
Démontrons que la suite de réels $(y^{(n)})_{n\geqslant 0}$ converge vers le
réel $y$ dans $\mathbb{R}$. Pour cela, il suffit de montrer que la suite $%
\left\vert (y)_{k}-(y^{(n)})_{k}\right\vert =\left\vert y_{\varphi
(k)}^{(k)}-y_{k}^{(n)}\right\vert $ converge vers $0$ lorsque $n\rightarrow
+\infty $ uniformément par rapport à $k.$ Considérons $k$ et $n$ deux
entiers. Les suites $(y_{q}^{(k)})_{q\geqslant 0}$ et $(y_{q}^{(n)})_{q%
\geqslant 0}$ sont des suites de Cauchy de rationnels. Si nous posons $%
q=\max (\varphi (k),N(n,k),\varphi (n),),$ alors $\forall k\geqslant n,$ les
majorations (\ref{definition de phi(n)}) et (\ref{y(n) est de cauchy}) nous d%
émontrent l'inégalité suivante
\begin{eqnarray*}
\left\vert y_{\varphi (k)}^{(k)}-y_{k}^{(n)}\right\vert &=&\left\vert
(y_{\varphi
(k)}^{(k)}-y_{q}^{(k)})+(y_{q}^{(k)}-y_{q}^{(n)})+(y_{q}^{(n)}-y_{k}^{(n)})%
\right\vert \\
&\leqslant &\left\vert y_{\varphi (k)}^{(k)}-y_{q}^{(k)}\right\vert
+\left\vert y_{q}^{(k)}-y_{q}^{(n)}\right\vert +\left\vert
y_{q}^{(n)}-y_{k}^{(n)}\right\vert \\
&\leqslant &\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{n-1}}+\dfrac{1}{2^{n}}\leqslant
\dfrac{3}{2^{n-1}}.
\end{eqnarray*}%
Pour $n$ fixé, nous avons donc $\forall k\geqslant n,\quad \left\vert
y_{\varphi (k)}^{(k)}-y_{k}^{(n)}\right\vert \leqslant \dfrac{3}{2^{n-1}}$
et la partie 3) du corollaire \ref{choix representant reel positif} nous
montre que $\left\vert y-y^{(n)}\right\vert \leqslant \dfrac{3}{2^{n-1}}.$
Soit $\varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{\times }$ : le théorème \ref{un
rationnel entre deux reels} montre qu'il existe un rationnel $a$ tel que $%
0