\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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\newtheorem{acknowledgement}{Prérequis}
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\begin{document}
\title{Valeurs absolues de $\mathbb{Q}$.}
\author{Abdellah Bechata\bigskip \\
%EndAName
%TCIMACRO{\qhyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}}%
%BeginExpansion
\hyperref{www.mathematiques.fr.st}{}{}{www.mathematiques.fr.st}%
%EndExpansion
}
\date{}
\maketitle
\begin{abstract}
Nous définissons et explicitons toutes les valeurs absolues de $\mathbb{Q}.$
Dans cet article, $p$ désignera systématiquement un nombre premier.
\end{abstract}
\begin{definition}
Soit $k$ un corps. On appelle valeur absolue sur $k$ toute application $%
\left\vert {}\right\vert $ de $k$ dans $\mathbb{R}_{+}$ telle que
\begin{gather}
\forall x\in k,\text{ }\left\vert x\right\vert =0\Leftrightarrow x=0\text{ }
\label{x=0 ssi abs(x)=0} \\
\forall x,y\in k,\text{ }\left\vert xy\right\vert =\left\vert x\right\vert
\left\vert y\right\vert \label{multiplicativite de la valeur absolue} \\
\forall x,y\in k,\text{ }\left\vert x+y\right\vert \leqslant \left\vert
x\right\vert +\left\vert y\right\vert \label{inegalite triangulaire}
\end{gather}%
Un corps muni d'une valeur absolue s'appelle un corps valué.
\end{definition}
L'égalité (\ref{multiplicativite de la valeur absolue}) et (\ref{x=0 ssi
abs(x)=0}) montre que $\left\vert 1\right\vert =1$ ($x=y=1$), $\left\vert
-1\right\vert =1$ $(x=y=-1)$ puis que $\left\vert \dfrac{1}{x}\right\vert =%
\dfrac{1}{\left\vert x\right\vert }.$
\begin{definition}
Une valeur absolue constante $\left\vert {}\right\vert $ est dit triviale
ssi $\left\vert x\right\vert =1\quad \forall x\in k^{\times }$ et $%
\left\vert 0\right\vert =0.$
\end{definition}
Il est évident qu'une valeur absolue triviale est une valeur absolue !.
\begin{example}[valeur absolue archimédienne sur $\mathbb{Q}$]
\label{valeur abs archi de Q}La valeur absolue usuelle sur $\mathbb{Q}$ est
une valeur absolue sur $\mathbb{Q}$ ! \newline
On l'appelle valeur absolue archimédienne de $\mathbb{Q}$ et on la note dé%
sormais $\left\vert {}\right\vert _{\infty }.$
\end{example}
\begin{example}[valeur absolue $p$-adique sur $\mathbb{Q}$]
\label{valeur abs p-adique de Q}Soit $p$ un nombre premier. On considère la
fonction $\left\vert {}\right\vert _{p}$ définie par
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{Q}^{\times },\text{ }\left\vert x\right\vert _{p}=p^{-k}%
\text{ si }x=p^{k}\frac{a}{b}\text{ avec }(a,p)=(b,p)=1\text{ et }\left\vert
0\right\vert _{p}=0.
\end{equation*}%
où $(a,b)$ désigne le pgcd de $a$ et de $b.$
\end{example}
\begin{lemma}
L'application $x\mapsto \left\vert x\right\vert _{p}$ est une valeur absolue
sur $\mathbb{Q}$ .Elle vérifie, en outre, l'inégalité (ultramétrique)
\begin{equation}
\forall x,y\in \mathbb{Q},\text{ }\left\vert x+y\right\vert _{p}\leqslant
\max (\left\vert x\right\vert _{p},\left\vert y\right\vert _{p}).
\label{inegalite triangulaire pour les p-adiques}
\end{equation}%
\newline
Cette valeur absolue $\left\vert {}\right\vert _{p}$ est appelée valeur
absolue $p$-adique de $\mathbb{Q}.$
\end{lemma}
\begin{proof}
Par définition de $\left\vert {}\right\vert _{p},$ l'égalité (\ref{x=0 ssi
abs(x)=0}) est satisfaite.\newline
Si $x=p^{k}\dfrac{a}{b}$ et $y=p^{k^{\prime }}\dfrac{c}{d}$ avec $%
(a,p)=(b,p)=(c,p)=(d,p)=1$ alors $xy=p^{k+k^{\prime }}\dfrac{ac}{bd}$ et $%
(ac,p)=(bd,p),$ ce qui nous donne
\begin{equation*}
\left\vert xy\right\vert _{p}=p^{-(k+k^{\prime })}=p^{-k}p^{-k^{\prime
}}=\left\vert x\right\vert _{p}\left\vert y\right\vert _{p}
\end{equation*}%
et démontre l'égalité (\ref{multiplicativite de la valeur absolue}).\newline
D'autre part, en supposant que $k\leqslant k^{\prime }$ (sinon on échange $x$
et $y),$ on a $\left\vert y\right\vert _{p}=\max\limits_{p}(\left\vert
x\right\vert _{p},\left\vert y\right\vert _{p})$ et
\begin{equation*}
x+y=p^{k}(\frac{a}{b}+p^{k^{\prime }-k}\frac{c}{d})=p^{k}(\frac{%
ad+cbp^{k^{\prime }-k}}{bd}).
\end{equation*}%
Puisque $ad+cbp^{k^{\prime }-k}$ est un entier, il existe deux entiers $r$
et $a^{\prime }$ tels que $ad+cbp^{k^{\prime }-k}=p^{r}a^{\prime }$ avec $%
(a^{\prime },p)=1$ et $r\geqslant 0$. En outre, $p$ est premier à $b$ et $d$
donc $p$ est premier à $bd,$ ce qui nous donne l'inégalité
\begin{equation*}
\left\vert x+y\right\vert _{p}=p^{-(k+r)}\leqslant p^{-k}=\max (\left\vert
x\right\vert _{p},\left\vert y\right\vert _{p})\leqslant \left\vert
x\right\vert _{p}+\left\vert y\right\vert _{p},
\end{equation*}%
qui démontre les inégalités (\ref{inegalite triangulaire}).et (\ref%
{inegalite triangulaire pour les p-adiques})
\end{proof}
\begin{remark}
Il est de notoriété publique que l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$
est un ensemble non borné pour la distance usuelle sur $\mathbb{R}$ induit
par la valeur absolue archimédienne $\left\vert {}\right\vert _{\infty }.$
Par contre, si $p$ désigne un nombre premier, tout entier $n$ s'écrit sous
la forme $p^{r}m$ où $r$ est un entier positif et $m^{\prime }$ un entier
relatif premier à $p$ donc
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{Z},\text{ }\left\vert n\right\vert _{p}=p^{-r}\leqslant
1,
\end{equation*}%
ce qui implique que l'ensemble $\mathbb{Z}$ est borné pour toute valeur
absolue $p$-adique $\left\vert {}\right\vert _{p}.$
\end{remark}
\begin{definition}
\quad
\begin{itemize}
\item On appelle corps valué, tout couple de la forme $(k,\left\vert
{}\right\vert )$ où $k$ est un corps et $\left\vert {}\right\vert $ est une
valeur absolue sur $k.$
\item On appelle distance induite sur $k$ par $\left\vert {}\right\vert ,$
la distance $d_{\left\vert {}\right\vert }$ sur $k$ définie par
\begin{equation*}
\forall x,y\in k,d_{\left\vert {}\right\vert }(x,y)=\left\vert
x-y\right\vert .
\end{equation*}%
(je laisse au lecteur le soin de vérifier qu'il s'agit bien d'une distance)
\item On dit que deux valeurs absolues sur $k,$ $\left\vert {}\right\vert
_{1}$ et $\left\vert {}\right\vert _{2},$ sont équivalentes ssi leurs
distances associées respectives induisent la même topologie sur $k.$
\end{itemize}
\end{definition}
Rappellons que deux distances $d_{1}$ et $d_{2}$ sur un espace métrique $X$ d%
éfinissent la même topologie si les ouverts pour la distance $d_{1}$ sont
les ouverts pour la distance $d_{2}.$
\begin{lemma}
\label{equivalences des valeurs absolues}Soit $k$ un corps et $\left\vert
{}\right\vert _{1},\left\vert {}\right\vert _{2}$ deux valeurs absolues sur $%
k.$ \newline
Les valeurs absolues $\left\vert {}\right\vert _{1}$ et $\left\vert
{}\right\vert _{2}$sont équivalentes ssi pour toute suite $(x_{n})_{n\in
\mathbb{N}}$ de $k$ ($\left\vert x_{n}\right\vert _{1}\underset{n\rightarrow
+\infty }{\rightarrow }0)\Leftrightarrow $($\left\vert x_{n}\right\vert _{2}%
\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }0).$
\end{lemma}
\begin{proof}
\quad
\begin{itemize}
\item Supposons que les valeurs absolues $\left\vert {}\right\vert _{1}$ et $%
\left\vert {}\right\vert _{2}$sont équivalentes.\newline
Soit $(x_{n})_{n\geqslant 0}$ une suite de $k$ convergeant vers $0$ pour la
distance $d_{1}.$ Alors, pour tout ouvert $V$ de $0$ (pour la distance $%
d_{1}),$ il existe un rang $n_{0}$ tel que $\forall n\geqslant n_{0},\quad
u_{n}\in V.$ Or tout ouvert pour $d_{2}$ est un ouvert de $d_{1},$ donc pour
tout ouvert $V$ de $0$ (pour la distance $d_{2}),$ il existe un rang $n_{0}$
tel que $\forall n\geqslant n_{0},\quad u_{n}\in V$ ce qui démontre que $%
(x_{n})_{n\geqslant 0}$ converge vers $0$ pour la distance $d_{2}.$
\item Supposons que pour toute suite $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ de $k$ ($%
\left\vert x_{n}\right\vert _{1}\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow
}0)\Leftrightarrow $($\left\vert x_{n}\right\vert _{2}\underset{n\rightarrow
+\infty }{\rightarrow }0).$\newline
Démontrer que les ouverts pour $d_{1}$ sont les ouverts pour $d_{2}$ revient
à démontrer que les fermés pour $d_{1}$ sont les fermés de $d_{2}$ (le complé%
mentaire d'un ouvert est un fermé et vice-versa). La caractérisation sé%
quentielle des fermés montre que $F$ est fermé ssi pour toute suite $%
(x_{n})_{n\geqslant 0}$ d'éléments de $F$ convergeante vers $x$ dans $k$
pour la distance $d_{1}$ alors $x\in F$.\newline
Soit $F$ un fermé pour la distance $d_{1}$ et soit $(x_{n})_{n\geqslant 0}$
une suite d'éléments de $F$ convergeante vers $x\in k$ pour la distance $%
d_{2}.$ Alors $d_{\left\vert {}\right\vert _{2}}(x_{n},x)=\left\vert
x_{n}-x\right\vert _{2}\rightarrow 0\Leftrightarrow \left\vert
x_{n}-x\right\vert _{1}=d_{\left\vert {}\right\vert
_{1}}(x_{n},x)\rightarrow 0.$ On en déduit que la suite $(x_{n})_{n\geqslant
0}$ converge vers $x$ dans $k$ pour la distance $d_{1}$ et, puisque $F$ est
fermé pour la distance $d_{1}$, $x\in F.$ L'ensemble $F$ est donc fermé pour
la distance $d_{2}.$ En échangeant les rôles de $d_{1}$ et $d_{2}$, on
conclut.
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{theorem}
Soient $\left\vert {}\right\vert _{1}$ et $\left\vert {}\right\vert _{2}$
deux valeurs absolues sur $k,$ alors $\left\vert {}\right\vert _{1}$ et $%
\left\vert {}\right\vert _{2},$ sont équivalentes ssi il existe un réel
positif $a$ tel que
\begin{equation*}
\forall x\in k,\qquad \left\vert x\right\vert _{1}=\left\vert x\right\vert
_{2}^{a}
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
L'implication réciproque est évidente grâce au lemme \ref{equivalences des
valeurs absolues}.\newline
Pour l'implication directe, soit $x$ un élément de $k$ tel que $\left\vert
x\right\vert _{1}<1.$ \newline
La suite $(x^{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ ($\left\vert
x^{n}\right\vert _{1}=\left\vert x\right\vert _{1}^{n})$ dans $%
(k,d_{\left\vert {}\right\vert _{1}})$ donc elle converge vers $0$ dans $%
(k,d_{\left\vert {}\right\vert _{2}})$ c'est-à-dire $\left\vert x\right\vert
_{2}^{n}=\left\vert x^{n}\right\vert _{2}\underset{n\rightarrow +\infty }{%
\rightarrow }0$ d'où $\left\vert x\right\vert _{2}<1.$ En échangeant le rôle
joué par les deux valeurs absolues, on obtient que
\begin{equation*}
\forall x\in k,\quad (\left\vert x\right\vert _{1}>1)\Leftrightarrow
(\left\vert x\right\vert _{2}>1)
\end{equation*}%
ensuite en remplaçant $x$ par $\dfrac{1}{x}$ ($x\neq 0),$ on obtient
\begin{equation*}
\forall x\in k,\quad (\left\vert x\right\vert _{1}>1)\Leftrightarrow
(\left\vert x\right\vert _{2}>1)
\end{equation*}%
et par conséquent
\begin{equation*}
\forall x\in k,\quad (\left\vert x\right\vert _{1}=1)\Leftrightarrow
(\left\vert x\right\vert _{2}=1)
\end{equation*}%
Ainsi si $\left\vert {}\right\vert _{1}$ est la valeur absolue triviale, on
en déduit que $\left\vert {}\right\vert _{2}$ est également la valeur
triviale.\newline
Supposons $\left\vert {}\right\vert _{1}$ ne soit pas triviale : il existe $%
x_{0}\in k$ tel que $\left\vert x_{0}\right\vert _{1}>1$ (donc $\left\vert
x_{0}\right\vert _{2}>1)$ ce qui implique qu'il existe $a\in \mathbb{R}_{+}$
tel que $\left\vert x_{0}\right\vert _{1}=\left\vert x_{0}\right\vert
_{2}^{a}$ ($a=\dfrac{\ln \left\vert x_{0}\right\vert _{1}}{\ln \left\vert
x_{0}\right\vert _{2}}>0).$Soit $x\in k$ tel que $\left\vert x\right\vert
_{1}>1$. Considérons le réel $b$ pour lequel $\left\vert x\right\vert
_{1}=\left\vert x_{0}\right\vert _{1}^{b}$. Pour tout rationnel $\dfrac{p}{q}%
b$ puis en
passant à la limite, on obtient que $\left\vert x\right\vert _{2}\geqslant
\left\vert x_{0}\right\vert _{2}^{b}$ ce qui nous fournit l'égalité
\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert _{2}=\left\vert x_{0}\right\vert _{2}^{b}=\left\vert
x_{0}\right\vert _{1}^{\dfrac{b}{a}}=\left\vert x\right\vert _{1}^{\dfrac{1}{%
a}}\Rightarrow \left\vert x\right\vert _{1}=\left\vert x\right\vert _{2}^{a}
\end{equation*}%
valable pour tout élément $x$ de $k$ tel que $\left\vert x\right\vert
_{1}>1. $ En remplaçant $x$ par $\dfrac{1}{x}$ et en utilisant la
multiplicativité des valeurs absolues, on en déduit que%
\begin{equation*}
\forall x\in k\text{, tel que }\left\vert x\right\vert _{1}\neq 1,\text{ }%
\left\vert x\right\vert _{1}=\left\vert x\right\vert _{2}^{a}.
\end{equation*}%
Soit $x\in k$ tel que $\left\vert x\right\vert _{1}=1.$ L'élément $\dfrac{x}{%
x_{0}}$ qui vérifie $\left\vert \dfrac{x}{x_{0}}\right\vert _{1}=\dfrac{%
\left\vert x\right\vert _{1}}{\left\vert x_{0}\right\vert _{1}}=\dfrac{1}{%
\left\vert x_{0}\right\vert _{1}}<1$ donc on a
\begin{equation*}
\left\vert \dfrac{x}{x_{0}}\right\vert _{1}=\left\vert \dfrac{x}{x_{0}}%
\right\vert _{2}^{a}\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert _{1}=\left\vert
x\right\vert _{2}^{a}
\end{equation*}%
(car $\left\vert x_{0}\right\vert _{1}=\left\vert x_{0}\right\vert
_{2}^{a}), $ ce qui nous permet d'affirmer
\begin{equation*}
\forall x\in k,\text{ }\left\vert x\right\vert _{1}=\left\vert x\right\vert
_{2}^{a}.
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{corollary}
Deux valeurs absolues $\left\vert {}\right\vert _{p}$ et $\left\vert
{}\right\vert _{l}$ sont équivalentes ssi $p=l$
\end{corollary}
\begin{proof}
La réciproque est triviale. Pour l'implication directe, il suffit de considé%
rer la suite $(p^{n})_{n\geqslant 0}.$ Elle converge vers $0$ pour $%
\left\vert {}\right\vert _{p}$ car $\left\vert p^{n}\right\vert
_{p}=p^{-n}\rightarrow 0$ quand $n\rightarrow +\infty )$ et si $p\neq l,$
elle ne converge pas vers $0$ pour $\left\vert {}\right\vert _{l}$ car $%
\left\vert p^{n}\right\vert _{l}=1\nrightarrow 0.$
\end{proof}
\begin{theorem}[Ostrowski]
Toute valeur absolue sur $\mathbb{Q}$ est équivalente à la valeur absolue
archimédienne $\left\vert {}\right\vert _{\infty }$ ou à une certaine valeur
absolue $p$-adique $\left\vert {}\right\vert _{p}$..
\end{theorem}
\begin{proof}
Soit $\left\vert {}\right\vert $ une valeur absolue sur $\mathbb{Q}$ non
triviale.
\begin{enumerate}
\item Cas où $\mathbb{Z}$ est un ensemble borné pour $\left\vert
{}\right\vert .$ \newline
Pour tout $n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\},$ la suite $(n^{k})_{k\geqslant
0} $ est bornée donc la suite $(\left\vert n^{k}\right\vert =\left\vert
n\right\vert ^{k})_{k}$ l'est également, ce qui démontre que
\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{Z},\quad \left\vert n\right\vert \leqslant 1.
\label{Z est borne par 1}
\end{equation}%
La valeur absolue $\left\vert {}\right\vert $ n'est pas triviale. Il existe
alors un nombre entier non nul $n^{\prime }$ tel que $\left\vert n^{\prime
}\right\vert <1$ (sinon pour tout entier non nul $n,$ l'égalité $\left\vert
n\right\vert =1$ est vérifiée donc pour tout rationnel $\dfrac{a}{b},$ on a $%
\left\vert \dfrac{a}{b}\right\vert =1,$ ce qui contredit l'hypothèse). Pour
ce nombre $n^{\prime },$ il existe des nombres premiers $p_{1},..,p_{r}$
deux à deux distincts et des entiers positifs $l_{1},..,l_{r}$ tels que $%
n^{\prime }=\pm p_{1}^{l_{1}}..p_{r}^{l_{r}}$ donc $\left\vert
p_{1}\right\vert ^{l_{1}}..\left\vert p_{r}\right\vert ^{l_{r}}=\left\vert
n^{\prime }\right\vert <1.$ Chacun des facteurs de ce produit est inférieur à
$1$ et le produit est strictement plus petit que $1$ donc il existe un
nombre premier $p_{i}$ tel que $\left\vert p_{i}\right\vert <1.$ Désormais,
nous noterons $p$ le nombre premier $p_{i}.$\newline
Le théorème de Bezout montre que pour tout nombre $n$ premier à $p,$ il
existe des entiers relatifs $a_{k}$ et $b_{k}$ tels que $%
a_{k}p^{k}+b_{k}n^{k}=1.$ Supposons que $\left\vert n\right\vert <1$ alors
\begin{equation*}
\left\vert a_{k}p^{k}\right\vert =\left\vert a_{k}\right\vert \left\vert
p\right\vert ^{k}\underset{\text{cf. }(\ref{Z est borne par 1})}{\leqslant }%
\left\vert p\right\vert ^{k}\underset{k\rightarrow +\infty }{\rightarrow }0%
\text{ et }\left\vert b_{k}n^{k}\right\vert =\left\vert b_{k}\right\vert
\left\vert n\right\vert ^{k}\underset{\text{cf. }(\ref{Z est borne par 1})}{%
\leqslant }\left\vert n\right\vert ^{k}\underset{k\rightarrow +\infty }{%
\rightarrow }0\text{.}
\end{equation*}%
On en déduit que
\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{N},\text{ }1=\left\vert 1\right\vert =\left\vert
a_{k}p^{k}+b_{k}n^{k}\right\vert \leqslant \left\vert a_{k}p^{k}\right\vert
+\left\vert b_{k}n^{k}\right\vert \underset{k\rightarrow +\infty }{%
\rightarrow }0
\end{equation*}%
ce qui est absurde (on remarquera que dans l'inégalité précédente $%
\left\vert {}\right\vert $ désigne notre valeur absolue et non la valeur
absolue archimédienne qui est notée $\left\vert {}\right\vert _{\infty })$.
Ainsi pour tout nombre $n$ premier à $p,$ on a $\left\vert n\right\vert =1.$
Tout nombre rationnel non nul $x$ s'écrit sous la forme $x=p^{k}\dfrac{a}{b}$
avec $(a,p)=(b,p)=1$ donc
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{Q},\quad \left\vert x\right\vert =\left\vert
p\right\vert ^{k}=p^{-ka}=\left\vert p^{k}\right\vert _{p}^{a}=\left\vert
x\right\vert _{p}^{a}\text{ avec }a=-\dfrac{\ln \left\vert p\right\vert }{%
\ln p}>0.
\end{equation*}%
Ainsi si $\mathbb{Z}$ est un ensemble borné pour $\left\vert {}\right\vert $%
, alors $\left\vert {}\right\vert $ est équivalente à une certaine valeur
p-adique.
\item Cas où $\mathbb{Z}$ est un ensemble non borné pour $\left\vert
{}\right\vert .$ \newline
Soit $a$ un entier non nul positif tel que $\left\vert a\right\vert \neq 1$
(donc $a\notin \{0,1\}\Rightarrow a>1).$ Tout entier naturel $n\mathbb{\ }$s'%
écrit dans la base $a$ sous la forme $n=\sum\limits_{m=0}^{r_{n}}q_{m}a^{m}$
avec $k_{m}\in \{0,..,a-1\},q_{r_{n}}\neq 0$ et $r_{n}\leqslant \dfrac{\ln n%
}{\ln a}$ (car $a^{r_{n}}\leqslant n_{r_{n}}a^{r_{n}}\leqslant n).$\newline
Si l'on pose $M=\max\limits_{s\in \{0,..,a-1\}}(\left\vert s\right\vert ),$
il est immédiat que
\begin{equation*}
\left\vert n\right\vert \leqslant M\sum\limits_{m=0}^{r_{n}}\left\vert
a\right\vert ^{m}.
\end{equation*}%
D'autre part, pour tout entier $k,$ l'entier $n^{k}$ peut s'écrire $%
n^{k}=\sum\limits_{m=0}^{r_{n^{k}}}q_{m}^{\prime }a^{m}$ avec $%
r_{n^{k}}\leqslant \dfrac{\ln n^{k}}{\ln a}=k\dfrac{\ln n}{\ln a}$ ce qui
nous fournit l'inégalité%
\begin{equation}
.\forall k\in \mathbb{N},\text{ }\left\vert n\right\vert ^{k}=\left\vert
n^{k}\right\vert \leqslant M\sum\limits_{k=0}^{r_{n^{k}}}\left\vert
a\right\vert ^{k} \label{majoration triviale de n}
\end{equation}%
Supposons qu'il existe un entier $a>1$ tel que $\left\vert a\right\vert
\leqslant 1.$ alors l'inégalité (\ref{majoration triviale de n}) montre que%
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\forall k\geqslant 0,\quad \left\vert n\right\vert
^{k}\leqslant M(r_{n^{k}}+1)\leqslant M(k\dfrac{\ln n}{\ln a}+1)\Rightarrow
\left\vert n\right\vert \leqslant M^{\dfrac{1}{k}}(k\dfrac{\ln n}{\ln a}+1)^{%
\dfrac{1}{k}}.
\end{equation*}%
Puisque $\dfrac{1}{k}\ln (k\dfrac{\ln n}{\ln a}+1)\underset{k\rightarrow
+\infty }{\sim }\dfrac{1}{k}\ln (k\dfrac{\ln n}{\ln a})\underset{%
k\rightarrow +\infty }{\rightarrow }0,$ en faisant tendre $k$ vers $+\infty $
dans l'inégalité précédente, on obtient que $\forall n\in \mathbb{N},\quad
\left\vert n\right\vert \leqslant 1.$ L'ensemble $\mathbb{N}$ donc $\mathbb{Z%
}$ est bornée pour $\left\vert {}\right\vert $ ce qui est absurde.
Ainsi pour tout entier naturel $a>1,$ on a $\left\vert a\right\vert >1.$
Nous reprenons l'inégalité \ref{majoration triviale de n} pour un entier $%
a>1 $ (donc $\left\vert a\right\vert >1)$ ce qui nous donne
\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N},\forall k\geqslant 0,\quad \left\vert n\right\vert
\leqslant M^{\dfrac{1}{k}}(\frac{\left\vert a\right\vert ^{r_{n}+1}-1}{%
\left\vert a\right\vert -1})^{\dfrac{1}{k}}=\left( \dfrac{M}{1-\left\vert
a\right\vert }\right) ^{\dfrac{1}{k}}(\left\vert a\right\vert ^{k\frac{\ln n%
}{\ln a}+1}-1)^{\dfrac{1}{k}}
\end{equation*}%
La suite $(\left\vert a\right\vert ^{k\frac{\ln n}{\ln a}+1})_{k}$ tend vers
$+\infty $ lorsque $k\rightarrow +\infty $ donc
\begin{equation*}
\dfrac{1}{k}\ln (\left\vert a\right\vert ^{k\frac{\ln n}{\ln a}+1}-1)=\dfrac{%
1}{k}[\underset{\rightarrow +\infty }{\underbrace{\ln (\left\vert
a\right\vert ^{k\frac{\ln n}{\ln a}+1})}}+\ln (1-\underset{\rightarrow 0}{%
\underbrace{\left\vert a\right\vert ^{-(k\frac{\ln n}{\ln a}+1)}}})]\underset%
{k\rightarrow +\infty }{\sim }-\dfrac{1}{k}\ln \left( \left\vert
a\right\vert ^{k\frac{\ln n}{\ln a}+1}\right) \underset{k\rightarrow +\infty
}{\sim }\dfrac{k\frac{\ln n}{\ln a}}{k}\ln \left\vert a\right\vert \underset{%
k\rightarrow +\infty }{\rightarrow }\dfrac{\ln n}{\ln a}\ln \left\vert
a\right\vert
\end{equation*}%
En faisant tendre $k\rightarrow +\infty $ dans l'inégalité ci-dessus
\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{N}\text{ tel que }a>1,\forall n\in \mathbb{N}^{\times
},\quad \left\vert n\right\vert \leqslant \left\vert a\right\vert ^{\dfrac{%
\ln n}{\ln a}}\Leftrightarrow \frac{\ln \left\vert n\right\vert }{\ln n}%
\leqslant \frac{\ln \left\vert a\right\vert }{\ln a}
\end{equation*}%
Si l'on échange le rôle de $a$ et de $n$ dans l'inéquation précédente, on
obtient que le rapport $\dfrac{\ln \left\vert n\right\vert }{\ln n}$ est
constant sur les entiers strictements plus grand que $1$. Désignons par $d$
cette constante : alors pour tout entier naturel $n>1,\quad \left\vert
n\right\vert =n^{d}$, la formule étant trivialement vérifiée pour $n=0$ et $%
n=1.$ On peut étendre par multiplicativité cette formule aux entiers
relatifs ($\left\vert -1\right\vert =1)$ puis à l'ensemble des rationnels.%
\newline
On peut remarquer que le réel $d\in ]0,1]$ est positif $(d=\dfrac{\overset{>0%
}{\overbrace{\ln \left\vert a\right\vert }}}{\underset{>0}{\underbrace{\ln a}%
}}$ pour tout entier $a>1)$ et plus petit que $1$ ($\left\vert a\right\vert
=\left\vert \underset{a\text{ fois}}{\underbrace{1+1+..+1}}\right\vert
\leqslant \left\vert a\right\vert _{\infty }\left\vert 1\right\vert =a).$%
\newline
Ainsi, si $\mathbb{Z}$ est un ensemble borné pour $\left\vert {}\right\vert $%
, alors $\left\vert {}\right\vert $ est équivalente à la valeur absolue
archimédienne $\left\vert {}\right\vert _{\infty }$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition}
Une valeur absolue sur $\mathbb{Q}$ est dite
\begin{itemize}
\item archimédienne ssi elle est équivalente à la valeur absolue $\left\vert
{}\right\vert _{\infty }$
\item non archimédienne ssi elle est équivalente à une certaine valeur
absolue $p$-adique.
\end{itemize}
\end{definition}
\end{document}