%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 1997}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve commune de Mathématiques}\bigskip
{\large Classements SUP (MPSI, PCSI, PTSI) et SPE (MP, PC, PT, PSI)}\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. \bigskip
\section*{PREMIER\ PROBLEME}
\subsection*{Partie I : {Etude d'une fonction}}
Soit la fonction $f$ définie sur $\left] -{\dfrac{1}{2}},+\infty \right[ $
par :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{cl}
\text{pour }x\text{ dans}\left] -{\dfrac{1}{2}},0\right[ \cup \left]
0,+\infty \right[ , & f(x)={\dfrac{\ln (1+2x)}{x}}-1 \\
& f(0)=1%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Donner le développement limité à l'ordre $1$ de $f(x)$ au voisinage de
$0$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur son ensemble de définition.
\item Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et donner $f^{\prime }(0)$.
\item Etudier les variations de $f$. \medskip \newline
On montrera en particulier que $f$ s'annule en un unique point $\alpha $
dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près (en expliquant comment
elle est obtenue).
\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé (unité
: $2$ cm).
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II : Etude d'une suite convergeant vers $\protect\alpha $%
}
Soit la suite $(u_{n})_{n\in {\mathbb{N}}}$ telle que : $u_{0}>0$ et pour
tout $n$ dans $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\ln (1+2u_{n})=g(u_{n})$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_{n}$ est bien défini pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$.
\item On suppose que $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge. Que vaut alors sa
limite $L$ ?
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item On suppose que $u_{0}$ est dans l'intervalle $\left] 0,\alpha \right] $%
. \medskip \newline
Montrer que, alors, pour tout $n$, $u_{n}$ est dans l'intervalle $\left]
0,\alpha \right] $. \medskip \newline
Puis montrer que la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante et
convergente vers $\alpha $.
\item Montrer, de manière analogue, que $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge
aussi vers $\alpha $ si on suppose $u_{0}$ dans $\left] \alpha ,+\infty %
\right[ $.
\end{enumerate}
\item On pose $u_{0}=1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, $\left\vert u_{n}-\alpha
\right\vert \leqslant \left( \dfrac{2}{3}\right) ^{n}$.
\item Au vu de cette majoration, à partir de quel rang $n$ est-on sûr que $%
u_{n}$ représente une valeur approchée de $\alpha $ à $10^{-4}$ près ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{III : Etude d'une primitive de $f$}
On pose, pour $x$ dans $\left] -{\dfrac{1}{2}},+\infty \right[ $, $%
F(x)=\dint\limits_{0}^{x}f(t)\ dt$.
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de $F$ (sans chercher à savoir, pour l'instant,
si $F(x)$ a une limite quand $x$ tend vers $-{\dfrac{1}{2}}$ ou $+\infty $).
\item Montrer que $F(x)$ est équivalent à $x$ quand $x$ tend vers $0$.
\item Montrer que $F(x)$ tend vers $-\infty $ quand $x$ tend vers $+\infty $.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $t$ dans $\left] -{\dfrac{1}{2}},-{\dfrac{1}{4}}%
\right] $, on a : $\ln (1+2t)\geqslant {\dfrac{-1}{\sqrt{1+2t}}}$ puis : $%
f(t)\leqslant {\dfrac{4}{\sqrt{1+2t}}}-1$
\item En déduire que l'expression $F(x)-F\left( -{\dfrac{1}{4}}\right) $ est
minorée sur l'intervalle $\left] -{\dfrac{1}{2}},-{\dfrac{1}{4}}\right] $
\item Prouver que $F$ est prolongeable par continuité à droite en $-{\dfrac{1%
}{2}}\cdot $ (on ne cherchera pas à calculer la valeur de $F$ ainsi prolongé%
e en ce point ; on la notera seulement $L_{1}$)
\item $F$, ainsi prolongée, est-elle alors dérivable à droite en $-{\dfrac{1%
}{2}}$ ?
\end{enumerate}
\item En admettant que $L_{1}=-1{,}14$ à $10^{-2}$ près, donner l'allure de
la courbe représentative de $F$ (sur le même repère que celle de $f$), l'é%
tude de la branche infinie n'étant pas demandée.
\end{enumerate}
\section*{DEUXIEME\ PROBLEME}
$F$ est l'espace vectoriel des fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty }$
sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. \bigskip \newline
\underline{Questions préliminaires} :
Soit $\psi $ l'application, définie sur $F$, qui, à une fonction $f$,
associe sa dérivée $f^{\prime }$ :
\begin{description}
\item[a)] Montrer que $\psi $ est un endomorphisme de $F$.
\item[b)] Est-ce un automorphisme ?
\end{description}
On considère le sous-ensemble $E$ de $F$ des fonctions de la forme :
\begin{equation*}
x\mapsto P(x)\sin x+Q(x)\cos x
\end{equation*}%
où $P$ et $Q$ sont deux polynômes de {$\mathbb{R}$}$_{1}[X]$ (c'est-à-dire
de degré inférieur ou égal à $1$ et à coefficients réels).
\begin{enumerate}
\item Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $F$, de base $\mathcal{%
B}=(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4})$ où
\begin{equation*}
f_{1}:x\mapsto \sin x;\quad f_{2}:x\mapsto x\sin x;\quad f_{3}:x\mapsto \cos
x;\quad f_{4}:x\mapsto x\cos x.
\end{equation*}
\item $D$ est la restriction de $\psi $ à $E$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et donner sa matrice $M$
dans la base $\mathcal{B}$.
\item Déterminer $\ker (D)$. En déduire que $D$ est une bijection de $E$ sur
$E$.
\end{enumerate}
\item $\lambda $ est un réel, $\func{Id}_{E}$ est l'application identique de
$E$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, selon les valeurs de $\lambda $, le rang de $D^{2}-\lambda
\func{Id}_{E}$.
\item Déterminer une base et la dimension du noyau et de l'image de $D^{2}+%
\func{Id}_{E}$.
\item En déduire que $D^{4}+2D^{2}+\func{Id}_{E}$ est l'application nulle de
$E$.
\item Retrouver alors que $D$ est bijective et calculer $D^{-1}$ en fonction
de $D$.
\end{enumerate}
\item On note $V$ le sous-espace de $\mathcal{L}(E)$ engendré par $\func{Id}%
_{E}$ et $D^{2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $V$ est une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$.
\item Soit $G$ l'ensemble des éléments inversibles de $V$. \medskip \newline
Montrer que $G$ est l'ensemble des éléments de la forme : $\alpha \func{Id}%
_{E}+\beta D^{2}$ où $\alpha \neq \beta $.
\item $G$ constitue-t-il un groupe pour la loi de composition des
applications ?
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y^{\prime
\prime }+y=0$.
\item Déterminer le noyau de $\psi ^{2}+\func{Id}_{F}$.
\item Montrer que le noyau de $(\psi ^{2}+\func{Id}_{F})^{2}$ est $E$. Puis
montrer que $E$ est exactement l'espace des solutions de l'équation diffé%
rentielle :
\begin{equation*}
y^{(4)}+2y^{(2)}+y=0.
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}