%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{color}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Saturday, October 28, 2006 16:18:01}
%TCIDATA{LastRevised=Wednesday, November 01, 2006 18:47:38}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 2000}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI})\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. \bigskip
\section*{PROBLEME\ D'ANALYSE}
\begin{description}
\item[$\square $] $C^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ est la $\mathbb{R}$-algèbre
des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
\item[$\square $] L'objectif du problème est d'étudier les ensembles $%
\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ suivants :\medskip \newline
$\mathcal{E}=\left\{ f\in C^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid \forall (x,y)\in
\mathbb{R}^{2},\ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\right\} $. \smallskip \newline
$\mathcal{F}$ est la partie constituée des éléments $f$ de $\mathcal{E}$
tels que :
\begin{itemize}
\item $f$ n'est pas la fonction identiquement nulle.
\item $f$ s'annule au moins une fois sur $\mathbb{R}$.
\end{itemize}
\end{description}
\subsection*{Partie I}
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction cosinus est dans l'ensemble $\mathcal{E}$.
\item On note $\func{ch}$ la fonction cosinus hyperbolique et $\func{sh}$ la
fonction sinus hyperbolique. \newline
Démontrer la formule : $\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2},\ \func{ch}(x+y)=%
\func{ch}x\func{ch}y+\func{sh}x\func{sh}y$. \smallskip \newline
En déduire que la fonction $\func{ch}$ est dans l'ensemble $\mathcal{E}$.
\item Soit $f$ dans $\mathcal{E}$ ; montrer que pour tout réel $\alpha $, la
fonction $f_{\alpha }$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par : $%
x\mapsto f_{\alpha }(x)=f(\alpha \,x)$ est dans $\mathcal{E}$.
\item On fixe un élément $f$ de $\mathcal{E}$. \smallskip \newline
En donnant à $x$ et à $y$ des valeurs particulières, prouver que :
\begin{enumerate}
\item $f(0)$ vaut $0$ ou $1$.
\item Si $f(0)=0$, alors $f$ est la fonction identiquement nulle.
\item Si $f(0)=1$, alors $f$ est une fonction paire.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II}
On fixe ici un élément $f$ de $\mathcal{E}$ tel que $f(0)=1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour chaque réel $r>0$, on a :
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in \mathbb{R},\
\dint\limits_{0}^{r}f(x+y)dy=\dint\limits_{x}^{x+r}f(u)du$.
\item $\forall x\in \mathbb{R},\
2f(x)\dint\limits_{0}^{r}f(y)dy=\dint\limits_{x}^{x+r}f(u)du+\dint%
\limits_{x-r}^{x}f(v)dv$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'on peut choisir $r>0$ de façon à rendre strictement
positive la constante $\dint\limits_{0}^{r}f(y)dy$. \smallskip \newline
\emph{Dans la suite de ce} \textbf{2}., \emph{on fixe un réel} $r>0$\emph{\
qui vérifie} : $\dint\limits_{0}^{r}f(y)dy>0$.
\begin{enumerate}
\item En déduire que $f$ est de classe $C^{1}$ sur $\mathbb{R}$.
\item Montrer alors que $f$ est en fait de classe $C^{\infty }$ sur $\mathbb{%
R}$.
\item Prouver l'existence d'une constante $c>0$ telle que :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad c\,f^{\prime }(x)=f(x+r)-f(x-r).
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item En déduire l'existence d'une constante réelle $\lambda $ telle que :
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad f^{\prime \prime }(x)=\lambda \,f(x).
\end{equation*}%
Conclusion
\item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y^{\prime \prime
}=\mu \,y$, en séparant les cas : $\mu >0$, $\mu <0$ et $\mu =0$.
\item En déduire tous les éléments de $\mathcal{E}$ en exploitant le \textbf{%
I.4.}c.
\item Donner tous les éléments de $\mathcal{F}$.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie III}
On se propose d'étudier l'ensemble $\mathcal{F}$ par une méthode différente.
\smallskip \newline
\emph{On pourra utiliser librement le résultat suivant }: \smallskip \newline
\emph{Si} $a$ \emph{est un élément fixé de} $\mathbb{R}_{+}^{\times }$ et si
$D_{a}=\left\{ a\dfrac{p}{2^{q}}\quad /\quad p\in \mathbb{Z},\quad q\in
\mathbb{N}\right\} $, \smallskip \newline
\emph{tout réel est limite d'une suite d'éléments de} $D_{a}$. \medskip
\newline
Soit $f$ un élément de $\mathcal{F}$. On pose $E=\left\{ x>0\quad /\quad
f(x)=0\right\} $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(0)=1$, et que $f$ s'annule au moins une fois sur $%
\mathbb{R}_{+}^{\times }$.
\item Montrer que $E$ admet une borne inférieure que l'on note $a$.
\item Prouver que $f(a)=0$ (on pourra raisonner par l'absurde). En déduire
que : $a>0$.
\item Montrer que : $\forall x\in \left[ 0,a\right[ ,\ f(x)>0$. \medskip
\newline
On pose $\omega ={\dfrac{\pi }{2a}}$, et on note $g$ la fonction de $\mathbb{%
R}$ dans $\mathbb{R}$ : $x\mapsto \cos (\omega \,x)$.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Soit $q\in \mathbb{N}$ ; montrer que $f\left( \dfrac{a}{2^{q}}\right)
+1=2\left[ f\left( \dfrac{a}{2^{q+1}}\right) \right] ^{2}$.
\item En déduire, en raisonnant par récurrence sur $q$, que :
\begin{equation*}
\forall q\in \mathbb{N},\quad \ f\left( \dfrac{a}{2^{q}}\right) =g\left(
\dfrac{a}{2^{q}}\right) .
\end{equation*}%
\smallskip \emph{On démontrerait de même le résultat suivant que le candidat
pourra utiliser librement} : \smallskip \newline
\emph{si} $q\in \mathbb{N}$ \emph{est fixé} : $\forall p\in N,\quad f\left( p%
{\dfrac{a}{2^{q}}}\right) =g\left( p{\dfrac{a}{2^{q}}}\right) $\textit{.}
\end{enumerate}
\item Prouver que : $\forall x\in D_{a},\quad f(x)=g(x)$.
\item En déduire que $f=g$. \medskip \newline
En déduire tous les éléments de $\mathcal{F}$.
\end{enumerate}
\section*{PROBLEME D'ALGEBRE}
\textbf{Notations et objectifs} :
\begin{description}
\item[$\square $] Soit $n$ un entier, $n\geqslant 2$ ; on note $E=\mathfrak{M%
}_{n}(\mathbb{R})$ la $\mathbb{R}$-algèbre des matrices carrées d'ordre $n$ à
coefficients réels, et $E^{\ast }=\mathcal{L}(E,\mathbb{R})$ la $\mathbb{R}$
algèbre des formes linéaires sur $E$. \newline
On rappelle que : $\dim (E)=\dim (E^{\ast })$. \newline
Les éléments de $E$ sont notés $M=(m_{i\,j})$, la matrice élémentaire $%
E_{i\,j}$ est la matrice de $E$ dont les coefficients sont tous nuls à
l'exception de celui qui se trouve sur la $i$-ème ligne et sur la $j$-ème
colonne, qui vaut $1$. \newline
Lorsque $A$ et $B$ sont des éléments de $E$, on note $A\,.\,B$ leur produit.
\newline
Si $M\in E$, on note $\func{Vect}(M)$ le sous-espace vectoriel engendré par $%
M$
\item[$\square $] L'objectif du problème est de montrer que chaque hyperplan
vectoriel de $E$ possède au moins une matrice inversible.
\item[$\square $] Si $M=(m_{i\,j})\in E$, on note $T(M)$ le réel $%
\dsum\limits_{k=1}^{n}m_{k\,k}$. \newline
On définit ainsi une application $T$ de $E$ vers $\mathbb{R}$ : $M\mapsto
T(M)$. \newline
A chaque matrice $U$ de $E$, on associe :
\begin{itemize}
\item L'application $T_{U}$ de $E$ vers $\mathbb{R}$ : $M\mapsto
T_{U}(M)=T(U.M)$.
\item L'ensemble $H_{U}=\left\{ M\in E\quad /\quad T(U.M)=0\right\} $.
\end{itemize}
\end{description}
\subsection*{Partie I : Généralités, exemples.}
\begin{enumerate}
\item Quelques propriétés.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $T$ est une application linéaire.
\item Pour $U\in E$, prouver que l'application $T_{U}$ est dans $E^{\ast }$.
\item Soit $U\in E$ ; reconnaître $\ker T_{U}$, et montrer que $H_{U}$ est
un sous-espace vectoriel de $E$.
\end{enumerate}
\item \textit{Dans cette question seulement,} on prend $n=2$, et on pose $U=%
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1%
\end{pmatrix}%
$.
\begin{enumerate}
\item Ecrire les quatre matrices élémentaires $E_{i\,j}$ ; que peut-on dire
de la famille $(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ de $E=\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{%
R})$ ?
\item Montrer que $H_{U}$ est l'ensemble des matrices de $E$ dont la somme
des quatre coefficients vaut $0$.
\item Trouver une matrice $M$ de $E$ telle que $T(U\,.\,M)\neq 0$, et en dé%
duire la dimension de $\func{Im}T_{U}$ puis la dimension de $H_{U}$.
\item Montrer que $H_{U}$ possède une matrice inversible. \newline
\textit{La partie \textbf{III} propose une généralisation de ce résultat.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie II : Quelques résultats utiles pour la suite}
\begin{enumerate}
\item Soit $A=(a_{i\,j})$ et $B=(b_{i\,j})$ des éléments de $E$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $T(A\,.\,B)=\dsum\limits_{i=1}^{n}\dsum%
\limits_{j=1}^{n}a_{j\,i}b_{i\,j}$.
\item En déduire les identités suivantes :%
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{ccl}
(I_{1}) & & T(^{t}A.B)=\dsum\limits_{i=1}^{n}\dsum\limits_{j=1}^{n}a_{j%
\,i}b_{i\,j} \\
(I_{2}) & & T(B.A)=T(A.B)%
\end{array}%
\right. .
\end{equation*}
\end{enumerate}
\item Soit $U$ dans $E$.
\begin{enumerate}
\item Si $U$ est la matrice nulle, déterminer $\dim H_{U}$.
\item Si $U$ n'est pas la matrice nulle, montrer que l'on peut trouver un
couple d'entiers $(i_{0},j_{0})$ tel que $T_{U}(E_{i_{0}j_{0}})\neq 0$.
\newline
En déduire $\dim H_{U}$.
\end{enumerate}
\item Pour $(i,j)\in \left\{ 1,2,...,n\right\} ^{2}$, on note $%
T_{i\,j}=T_{E_{j\,i}}$.
\begin{enumerate}
\item Les indices $k$ et $l$ étant fixés, calculer $T_{i\,j}(E_{k\,l})$ en
utilisant $(I_{1})$.
\item En déduire que les $n^{2}$ éléments $T_{i\,j}$ de $E^{\ast }$
permettent de définir une base de $E^{\ast }$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'application $\varphi $ de $E$ vers $E^{\ast }$ : $%
U\mapsto \varphi (U)=T_{U}$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
\item On considère un hyperplan vectoriel $H$ de $E$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est sa dimension ?
\item Soit $A$ une matrice non nulle de $E$ qui n'appartient pas à $H$,
montrer que : $E=H\oplus \func{Vect}(A)$.
\item Construire alors un élément $l$ de $E^{\ast }$ tel que $H=\ker l$.
\item Prouver l'existence d'un élément $U$ de $E$ tel que $H=H_{U}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie III : Le résultat général}
Pour $1\leqslant r\leqslant n$, on note $R_{r}=\dsum\limits_{i=1}^{r}E_{i%
\,i} $.
\begin{enumerate}
\item Soit $P=%
\begin{pmatrix}
0 & 0 & . & 0 & 1 \\
1 & . & . & . & 0 \\
. & . & . & . & . \\
0 & . & . & . & 0 \\
0 & 0 & . & 1 & 0%
\end{pmatrix}%
$ c'est-à-dire $P=(p_{i\,j})$ avec%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{cc}
p_{i+1\,i}=1 & 1\leqslant i\leqslant n-1 \\
p_{1\,n}=1 & \\
p_{i\,j}=0 & \text{ailleurs}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P$ est inversible.
\item Prouver que $P$ appartient à l'hyperplan $H_{R_{r}}$.
\end{enumerate}
\item En déduire que chaque hyperplan vectoriel $H$ de $E$ possède au moins
une matrice inversible. \newline
\emph{Indication} : \emph{lorsque} $H=H_{U}$, \emph{avec} $U$ \emph{de rang}
$r$, \emph{on rappelle l'existence de matrices} $S_{1}$ \emph{et} $S_{2}$
\emph{inversibles telles que} $S_{1}.U.S_{2}=R_{r}$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}