%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 2004}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI}))\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
\bigskip
\begin{equation*}
\fbox{{\Large L'emploi d'une calculatrice est interdit.}}
\end{equation*}
\section*{PREMIER\ PROBLEME}
\subsection*{I. Résolution d'équations différentielles}
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle : $z^{\prime }+z\func{th}t=0,$ où $%
z $ est une fonction de la variable réelle $t$ à valeurs réelles.\medskip
\newline
Trouver la solution $z_{1}$ de cette équation telle que $z_{1}(0)=1$
\item Résoudre l'équation différentielle : $z^{\prime }+z\func{th}t=t\func{th%
}t.$\medskip \newline
Trouver la solution $z_{2}$ de cette équation telle que $z_{2}(0)=0.$
\end{enumerate}
\subsection*{II. Etude d'un arc paramétré}
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbe $%
(\Gamma )$ représentée paramétriquement par :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x(t)=t-\func{th}t \\
y(t)=\dfrac{1}{\func{ch}t}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(\Gamma )$ admet un axe de symétrie.
\item Etudier les branches infinies de $(\Gamma ).$
\item Etudier les variations de $x$ et $y;$ faire un tableau.
\item Préciser la nature du point $A$ d'abscisse $0,$ ainsi que la tangente
en ce point.
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Calculer $\func{ch}t$ et $\func{th}t$ lorsque $\func{sh}t=1.$ Calculer
la valeur de $t$ correspondante.\newline
(on exprimera le résultat sous forme d'un logarithme népérien).
\item Déterminer le point $B$ de $(\Gamma )$ où la tangente a pour
coefficient directeur $-1;$\medskip \newline
Déterminer une équation cartésienne de la tangente en $B$ à $(\Gamma ).$
\end{enumerate}
\item Donner l'allure de la courbe $(\Gamma ).$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la tangente à $(\Gamma )$ au
point $M$ de paramètre $t.$
\item Cette tangente recoupe l'axe des abscisses en un point $N.$ Calculer
la distance $MN.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{III. Etude d'intégrales et de suites}
Soient un réel $x$ et $k$ un entier strictement positif. On pose $%
I_{k}(x)=\dint\limits_{0}^{x}\dfrac{dt}{\func{ch}^{k}t}.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{1}(x)$ (on pourra faire le changement de variable $%
u=e^{t}).$
\item Calculer $I_{2}(x).$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item En intégrant par parties, trouver une relation entre $I_{k+2}$ et $%
I_{k}$ (on pourra remarquer que $\dfrac{1}{\func{ch}^{k}t}=\dfrac{\func{ch}t%
}{\func{ch}^{k+1}t})$
\item En déduire $I_{3}$ et $I_{4}.$
\end{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $I_{k}:x\mapsto I_{k}(x)$ est :
\begin{enumerate}
\item impaire.
\item continue sur $\mathbb{R}.$
\item de classe $C^{\infty }$ sur $\mathbb{R}.$
\end{enumerate}
\item Calculer $I_{k}^{\prime },$ $I_{k}^{\prime \prime }$ et $I_{k}^{\prime
\prime \prime }.$
\item Donner un développement limité de $I_{k}$ à l'ordre $3$ au voisinage
de $0.$
\item Démontrer que $I_{k}$ est monotone sur $\mathbb{R}.$
\item On se propose, pour $k$ fixé, d'étudier la convergence de la suite $%
(u_{n})_{n\in \mathbb{N}^{\times }}$ définie par $u_{n}=I_{k}(n).$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que cette suite est monotone.
\item Démontrer que, pour tout réel $t,$ $\dfrac{1}{\func{ch}t}\leqslant
2e^{-t};$ en déduire que la suite converge.
\end{enumerate}
\item On pose, sous réserve d'existence, $J_{k}=\lim\limits_{x\rightarrow
+\infty }\dint\limits_{0}^{x}\dfrac{dt}{\func{ch}^{k}t}$, notée $%
\dint\limits_{0}^{+\infty }\dfrac{dt}{\func{ch}^{k}t}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer l'existence de $J_{k}.$
\item Calculer $J_{1}$ et $J_{2}.$
\item Calculer $J_{k}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section*{DEUXIEME\ PROBLEME}
On désigne par $E$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ de la forme $%
\begin{pmatrix}
a & c \\
0 & b%
\end{pmatrix}%
,$ où $a,b,c$ sont des nombres réels.
\subsection*{I. Etude de structures}
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $E,$ muni de l'addition des matrices et de leur produit
par un scalaire réel, est un espace vectoriel réel.
\item Trouver une base et la dimension de $E.$
\end{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $E$ est stable pour la multiplication des matrices.
\item En déduire que, $E$ muni de l'addition et de la multiplication des
matrices, est un anneau.
\item Cet anneau est-il commutatif ?
\end{enumerate}
\item On désigne par $G$ l'ensemble des matrices de $E$ telles que $a>0$ et $%
b>0.$\medskip \newline
Démontrer que $G$ est un groupe multiplicatif.
\end{enumerate}
\subsection*{II. Puissance d'une matrice et suites}
Soit $A=%
\begin{pmatrix}
a & c \\
0 & b%
\end{pmatrix}%
\in E.$
\begin{enumerate}
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item On suppose $a\neq b.$ Démontrer que $\forall p\in \mathbb{N}^{\times
},\quad A^{p}=%
\begin{pmatrix}
a^{p} & c\dfrac{a^{p}-b^{p}}{a-b} \\
0 & b^{p}%
\end{pmatrix}%
$.
\item On suppose que $a=b.$ Calculer $A^{p}$ pour $p\in \mathbb{N}^{\times
}; $ on exprimera les coefficients en fonction de $a$ et $c.$
\end{enumerate}
\item Pour tout $n\in \mathbb{N}^{\times },$ on pose $B_{n}=\dsum%
\limits_{p=0}^{n}\dfrac{1}{p!}A^{p}=%
\begin{pmatrix}
\alpha _{n} & \gamma _{n} \\
0 & \beta _{n}%
\end{pmatrix}%
,$ en convenant que $A^{0}=I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1%
\end{pmatrix}%
$ et, pour tout $x$ réel,
\begin{equation*}
\varphi _{n}(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^{2}}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{n}}{n!}%
=\dsum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!}
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Rappeler l'inégalité de Taylor-Lagrange avec ses hypothèses.
\item Démontrer que, pour $x$ fixé, la suite de terme général $\varphi
_{n}(x)$ converge et que sa limite est $e^{x}.$
\item On suppose $a\neq b.$\medskip \newline
Calculer $\alpha _{n},$ $\beta _{n}$ et $\gamma _{n}$ en fonction de $a,$ $%
b, $ $c,$ $\varphi _{n}(a)$ et $\varphi _{n}(b).$\medskip \newline
Démontrer que les suites $(\alpha _{n})_{n},$ $(\beta _{n})_{n},$ et $%
(\gamma _{n})_{n}$ ont des limites respectives $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma $
que l'on calculera.
\end{enumerate}
\item Pour tout $A=%
\begin{pmatrix}
a & c \\
0 & b%
\end{pmatrix}%
\in E,$ on pose $A^{\prime }=%
\begin{pmatrix}
\alpha & \gamma \\
0 & \beta%
\end{pmatrix}%
,$ où $\alpha ,$ $\beta $ et $\gamma $ ont été définis à la question \textbf{%
II.2}, et on note $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par $%
f(A)=A^{\prime }.$
\begin{enumerate}
\item L'application $f$ est-elle linéaire ?
\item L'application $f$ est-elle injective ?
\item L'application $f$ est-elle surjective ?
\item Déterminer l'image de $E$ par $f.$
\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $0