%BECHATA Abdellah
%www.mathematiques.fr.st
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\begin{document}
\begin{center}
{\large CONCOURS 2005}\bigskip
{\large DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES}\bigskip
{\large Epreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI}))\bigskip
\end{center}
\noindent \textbf{Instructions générales :} \bigskip \newline
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la ré%
daction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.
\bigskip
\begin{equation*}
\fbox{{\Large L'emploi d'une calculatrice est interdit.}}
\end{equation*}
\section*{PREMIER\ PROBLEME}
\subsection*{Partie A}
On se propose dans cette partie d'étudier la fonction définie pour tout
nombre réel $t$ par :%
\begin{equation*}
f(t)=e^{-t}\cos (t)
\end{equation*}%
et de donner une allure de sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Etudier, sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2}%
\right] ,$ les variations de la fonction $f.$
\item Exprimer $f(t+2k\pi )$ en fonction de $f(t)$ pour $k\in \mathbb{Z}$,
et $t\in \left[ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2}\right] .$ \medskip \newline
En déduire les variations de $f$ sur $\left[ -\dfrac{\pi }{2}+2k\pi ,\dfrac{%
3\pi }{2}+2k\pi \right] $.
\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $%
u(t)=e^{-t}$ et $v(t)=-e^{-t}.$\medskip \newline
$(C_{1})$ et $(C_{2})$ leurs courbes représentatives respectives dans un repè%
re orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$\medskip \newline
Soit encore $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans $(O,\overrightarrow{i}%
,\overrightarrow{j}).$\medskip \newline
Déterminer les points d'intersection de $(C)$ et $(C_{1})$ puis de $(C)$ et $%
(C_{2});$ que dire alors de la limite de la fonction $f$ en $-\infty .$
\item Comparer les tangentes à $(C)$ et $(C_{1})$ aux points d'intersection
trouvés à la question précédente;\medskip \newline
Faire de même pour $(C)$ et $(C_{2}).$
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty .$
\item Utiliser ce qui précède pour représenter graphiquement $(C)$, $(C_{1})$
et $(C_{2})$ sr $\left[ -\dfrac{\pi }{2},\dfrac{3\pi }{2}\right] .$\medskip
\newline
On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes :%
\begin{eqnarray*}
e^{-\pi /4} &\simeq &0,46\quad e^{\pi /4}=2,19\quad e^{-3\pi /4}\simeq
0,09\quad e^{-\pi }\simeq 0,04 \\
e^{-\pi /2} &\simeq &0,21\quad e^{\pi /2}\simeq 4,81\quad e^{-3\pi /2}\simeq
0,01\quad \sqrt{2}\simeq 1,41
\end{eqnarray*}
\item Pour tout entier naturel $k,$ on pose :%
\begin{equation*}
a_{k}=\dint\limits_{-\dfrac{\pi }{2}+k\pi }^{-\dfrac{\pi }{2}+k\pi
}e^{-t}\cos (t)dt
\end{equation*}%
Calculer cette intégrale (on pourra utiliser deux intégrations par parties)
\item Montrer que $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont
on déterminera la raison et le premier terme.
\item On pose : $\forall k\in \mathbb{N},\quad b_{k}=\left\vert
a_{k}\right\vert ;$ \medskip \newline
calculer $s_{n}=\dsum\limits_{k=0}^{n}b_{k}$ en fonction de $n,$ puis é%
tudier la limite de $s_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty .$\medskip \newline
Interpréter géométriquement ce résultat.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
On se propose maintenant de tracer la courbe paramétrée définie pour $t\in
\lbrack 0,+\infty \lbrack $ par
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=e^{-t}\cos (t) \\
y=e^{-t}\sin (t)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les vecteurs vitesses $\overrightarrow{V}(t)$ et accélé%
ration $\overrightarrow{A}(t)$ à la date $t.$
\item Exprimer $\left\Vert \overrightarrow{OM}(t)\right\Vert $ en fonction
de $t.$
\item Démontrer que l'angle $\varphi =\left( \overrightarrow{OM},%
\overrightarrow{V}\right) $ que fait le vecteur $\overrightarrow{OM}(t)$
avec le vecteur vitesse $\overrightarrow{V}(t)$ à la date $t$ est constant
et en donner une mesure.
\item Donner une équation polaire de la courbe puis la représenter pour $%
t\in \lbrack 0,2\pi \lbrack .$
\end{enumerate}
\subsection*{Partie C}
Soit $E=\mathbb{R}^{2},$ muni de sa base canonique. Pour tout réel $t,$ on
appelle $F_{t}$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base
canonique est :
\begin{equation*}
M_{t}=%
\begin{pmatrix}
e^{-t}\cos (t) & -e^{-t}\sin (t) \\
e^{-t}\sin (t) & e^{-t}\cos (t)%
\end{pmatrix}%
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de $F_{n}.$
\item Montrer que $F_{t}$ est la composée de deux endomorphismes simples de $%
E,$ dont on donnera les éléments caractéristiques. (On peut utiliser soit le
cours d'algèbre linéaire, soit les complexes)
\item Soit $F=\{F_{t},\quad t\in \mathbb{R}\}$ : ensemble des endomorphismes
$F_{t},$ quand $t$ décrit $\mathbb{R}.$\medskip \newline
Montrer que la compositions des applications, notée $o,$ est interne sur $F,$
puis montrer que $(F,o)$ est un groupe isomorphe au groupe $(\mathbb{R},+).$
\end{enumerate}
\section*{DEUXIEME\ PROBLEME}
On note $\mathfrak{M}_{2}$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à
coefficients réels.\medskip \newline
On note $\theta =%
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0%
\end{pmatrix}%
$ la matrice nulle, et $I=%
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
.0 & 1%
\end{pmatrix}%
$ la matrice unité.\medskip \newline
On rappelle que $(\mathfrak{M}_{2},+,\times )$ est un espace vectoriel et
que $(\mathfrak{M}_{2},+,\times )$ est un anneau.
\subsection*{Partie A}
$A$ est une matrice fixée de $\mathfrak{M}_{2},$ différente de $I$ et $%
\theta ,$ on considère $f$ de $\mathfrak{M}_{2}$ vers lui-même définie par
\begin{equation*}
f:M\mapsto f(M)=M\times A-A\times M
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la dimension de $\mathfrak{M}_{2}$ ? (on ne demande pas de
justifier la réponse).
\item Montrer que $f$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $\mathfrak{M%
}_{2}.$
\item Soit $K=\{M\in \mathfrak{M}_{2}\quad /\quad A\times M=M\times A\}.$%
\medskip \newline
Montrer que $K$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathfrak{M}_{2},+,\times
).$
\item Montrer que $I$ et $A$ appartiennent à $\ker f.$
\item Montrer que $\ker f$ est stable pour la multiplication des matrices,
c'est-à-dire $A\in \ker f$ et $B\in \ker f\Rightarrow A\times B\in \ker f$
(la démonstration sera détaillée).
\item Montrer que $(\ker f,+,\times )$ est un anneau.
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
On pose maintenant $A=%
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1%
\end{pmatrix}%
$ et $M=%
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d%
\end{pmatrix}%
$ une matrice quelconque de $\mathfrak{M}_{2}.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(M).$
\item \thinspace
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\ker f$ est le sous-espace vectoriel engendré par $I$ et $%
A.$
\item Trouver une base de $\ker f$ et préciser la dimension de $\ker f$
ainsi que le rang de $f.$
\end{enumerate}
\item Déterminer $A^{n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}^{\times }.$
\item Soit $N=x.I+y.A$ un élément de $\ker f;$ déterminer $N^{n}$ pour tout $%
n\in \mathbb{N}^{\times }.$
\item Résoudre dans $\ker f$ l'équation : $N^{2}=I.$
\end{enumerate}
\subsection*{Partie C}
Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ \medskip \newline
On désigne par $s$ l'application de $\mathcal{P}$ vers lui-même qui au point
$m$ de coordonnées $(x,y)$ fait correspondre le pont $m^{\prime }$ de
coordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$, définies par :%
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x^{\prime }=x-2y \\
y^{\prime }=y%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $s\circ s,$ puis reconnaitre $s$ et préciser ses éléments
propres.
\item Soit $A$ le projeté orthogonal de $m$ sur $Oy;$\medskip \newline
trouver l'équation $y=F(x)$ de l'ensemble des points $m$ du plan vérifiant
la relation :%
\begin{equation*}
\overrightarrow{Am}.\overrightarrow{Om^{\prime }}=4
\end{equation*}%
Etudier la fonction trouvée, construire cet ensemble, avec ses asymptotes.
\item Soit $\Gamma $ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ du plan $%
\mathcal{P}.$\medskip \newline
Déterminer une équation de son image $\Gamma ^{\prime }=s(\Gamma ).$
\item Soit $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$ un nouveau repère
orthonormé direct tel qu'une mesure de l'angle $(\overrightarrow{i},%
\overrightarrow{I})$ soit le réel $\alpha .$\medskip \newline
Ecrire les formules de changement de passag de $(O,\overrightarrow{i},%
\overrightarrow{j})$ à $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J}),$ c'est-à%
-dire exprimer les coordonnées $(x,y)$ d'un point dans $(O,\overrightarrow{i}%
,\overrightarrow{j})$ en fonction des coordonnées $(X,Y)$ de ce même point
dans $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J}).$
\item Trouver une équation de $\Gamma ^{\prime }$ dans $(O,\overrightarrow{I}%
,\overrightarrow{J})$ en fonction de $\cos 2\alpha $ et de $\sin 2\alpha .$
\item On suppose maintenant $\alpha =\dfrac{\pi }{8},$ donner une équation
de $\Gamma ^{\prime }$ dans le repère $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{%
J});$ en déduire la nature de la conique $\Gamma ^{\prime }$ et préciser ses
paramètres $a$ et $b.$ Tracer $\Gamma ^{\prime }$ dans le repère $(O,%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$\medskip \newline
On pourra utiliser : $3+2\sqrt{2}=\left( \sqrt{2}+1\right) ^{2};\quad 3-2%
\sqrt{2}=\left( \sqrt{2}-1\right) ^{2}$ et $\sqrt{2}\simeq 1,4$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}